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课件网) 第六章 平面向量及其应用 6.2.4 平面向量的运算 ———向量的数量积 学习目标 1、了解向量的实际背景，理解平面向量数量积的含义并会计算； 2、理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角、模； 3、掌握并会计算向量的投影向量. 温故知新 向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有 新知探究 问题：前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功 其中是与的夹角. 新知探究 功是一个标量，它由力和位移两个向量确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量夹角的概念 新知探究 向量的夹角 已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作，，则叫做向量的夹角. 显然，当时，同向；当时，反向. 如果的夹角是，我们说垂直，记作. A B O 新知探究 向量的数量积 已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即 规定：零向量与任一向量的数量积为0. A B O 对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关 典型例题 例1：已知，，的夹角，求. 【解】 . 典型例题 例2：设，，，求的夹角. 【解】由，得 ， 因为， 所以. 新知探究 投影向量 如图，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量的投影，叫做向量在向量上的投影向量. A D B C 新知探究 投影向量 如图，我们在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. O N M 新知探究 如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？ 探究 显然，与共线，于是 O N M 新知探究 下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式.我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论. 当为锐角时，与方向相同，， 所以 O N M 新知探究 当为直角时，，所以 O N M 当为钝角时，与方向相反，所以 即 O N M 新知探究 当时，，所以 O N M 当时，，所以 O N M 从上面的讨论可知，对于任意的，都有 新知探究 从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性.这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ 探究 由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质. 设，是非零向量，它们的夹角为，是方向相同的单位向量，则 （1）； （2）； 新知探究 （3）当与同向时，； 当与反向时，. 特别地，或. （4）由，我们还可以得到 常常记作 如果，是否有，或？ 随堂练习 1、已知，，和的夹角是，求. 随堂练习 2、已知中，，，当或时，试判断的形状. 随堂练习 3、已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于，，时，求向量在向量上的投影向量. 本节课到此结束！ 谢谢大家！ ... ...
