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2025年中考数学几何辅助线解题方法 第8招 遇弧常作圆心角,或用圆周角协调(含解析)

日期:2025-01-15 科目:数学 类型:初中学案 查看:93次 大小:379345B 来源:二一课件通
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中小学教育资源及组卷应用平台 第8招 遇弧常作圆心角,或用圆周角协调 当题目给出的条件中涉及有关弧的概念时,往往要将弧的两端点与圆心或圆上一点相连,或连接弧的两端点等.这是因为弧线不如直线好把握,而这些辅助线恰好能将弧所隐藏的圆心角、圆周角、圆心距与半径组成直角三角形等图形显露出来.由于将弧的信息转换为圆心角或圆周角后,可改变思考的方向,以便我们顺利地运用勾股定理、圆周角定理及其性质来探究有关圆心角、弧、弦和弦心距之间的关系,促进解题的灵活性.此招辅助线我们可将它表述为: 遇弧常作圆心角,或用圆周角协调. 由于在同圆或等圆中,圆周角、弧、弦及弦心距等四个量中有一个相等,则其余三个也同样相等.为了把握这些基本概念,并能准确、方便运用它们进行信息转换,我们可将“同弧或等弧所对的圆周角相等”“直径所对的圆周角是直角”等定理简述为: 等圆周角等弧弦,直径直角互关联. 例1在等边三角形 ABC中,经过点 B 有一个圆与AC,AB,BC分别交于点D,E,F,连接BD,DE,DF. (1) 如图8-1所示,若BD是⊙O的直径,当AE=CF时,求证:DE=DF. (2) 如图8-2所示,若 当AD=4时,求AB的长. 解析 (1) 证明:如图8-1所示,∵BD是⊙O的直径, ∴∠BED=∠BFD=90°.(直径直角互关联) ∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC. ∵AE=CF,∴BE=BF. ∵BD=BD, ∴Rt△BDE≌Rt△BDF(HL). ∴DE=DF. (2) 如图8-3所示, ∵∠AED+∠BED=180°,∠BED+∠BFD=180°, ∴∠AED=∠DFB. 过点 D作DM⊥AB,垂足为M,DN⊥BC,垂足为N,如图8-3所示,则∠DME=∠DNF=90°. ∴△DME∽△DNF.(引线造角望相似) (通性通法灵活使) 在 Rt△ADM中, ∵∠AMD=90°,∠A=60°,AD=4, 在 Rt△DCN中,∠DNC=90°,∠C=60°, ∴AB=AC=AD+DC=4+10=14. 点评 本题属于圆综合题,考查了圆周角定理,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等.第(1)问,直接证 Rt△BDE≌Rt△BDF是解题的基本思想.第(2)问,难度较大,解题关键在于能否想到添加辅助线 DM,DN,构造相似三角形来探究.实际上,此思路的获得在于 B,E,D,F四点共圆,发现了有∠AED=∠DFB,故需要构造一角,显然是直角最好. 例2 如图8-4所示,⊙O中AB 的中点为P,弦PC,PD分别交AB 于E,F两点. (1) 若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小. (2)若EC的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD. 解析(1) 解法1 连接 PA,PB,BC,如图8-5所示. (遇弧常作圆心角,或用圆周角协调) ∵P为 的中点, ∴PA=PB,且∠PBA=∠PCB.(等圆周角等弧弦)(逆) 由图可得∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD. 又∠BPD=∠BCD,∴∠BFD=∠PCD. 又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD, ∴3∠PCD=180°. ∴∠PCD=60°. 解法2 连接 PA,PB,BC,如图8-6所示. (遇弧常作圆心角,或用圆周角协调) 设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3, ∠PBA=∠4,∠PAB=∠5, 由点 P 为 的中点,得∠4=∠5. (等圆周角等弧弦)(逆) 在△EBC中,∠1=∠2+∠3, 又∠D=∠4+∠3,∠2=∠5,即∠2=∠4, ∴∠D=∠1. 故C,D,E,F四点共圆.(对角若互补,四点可构圆) ∴∠EFD+∠PCD=180°. 由∠PFB=∠EFD=2∠PCD,可得3∠PCD=180°. ∴∠PCD=60°. (2)∵∠PCD=∠BFD,∴∠PCD+∠EFD=180°. 由此知C,D,E,F四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故点G就是过C,D,E,F四点的圆的圆心. 所以点G在CD 的垂直平分线上. 因此OG⊥CD. 点评 本题主要考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断,以及圆的垂径定理的运用,考查推理能力.第(1)问关键在于抓住等弧探究,挖掘∠BFD=∠PCD,如解法1;或挖掘∠D=∠1,再利用四点共圆来分析,如解法 2.第(2)问充分利用(1)所推得的C,D,E,F四点共圆分析,体现了借前结论攻后题的思想. 例3 我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究:根据给定的(或构造的) ... ...

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