人教B版（2019） 必修 第四册 第九章9.1.2 余弦定理（课件 学案 练习，共3份）

9.1.2　余弦定理 ［学习目标］　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.3.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简，证明及形状判断等问题. 一、余弦定理的推导 问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 问题2　在问题1的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 知识梳理 1.余弦定理的公式表达形式：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=　　　　　　　　　　　　， b2=　　　　　　　　　　　　， c2=　　　　　　　　　　　　. 2.余弦定理的文字语言叙述：三角形任何一边的平方，等于其他两边的　　　　减去这两边与它们夹角余弦的　　　　　　. 二、已知两边及一角解三角形 例1(课本例1)　在△ABC中，已知a=3，b=6，C=60°，求c. 例1　(1)在△ABC中，已知b=3，c=2，A=30°，求a； (2)在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，求角A，角C和边a. 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形 (1)已知三角形的两边及其夹角，先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求解. (2)已知三角形的两边及一边的对角，可利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 跟踪训练1　在△ABC中，已知a=2，b=2，C=15°，求A. 三、已知三边解三角形 问题3　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？ 知识梳理 余弦定理可以改写为如下形式： cos A=　　　　　　　　　　　　， cos B=　　　　　　　　　　　　， cos C=　　　　　　　　　　　　. 例2(课本例2)　在△ABC中，已知a=6，b=4，c=2，求C. 例2　(1)在△ABC中，若a2+b2+ab=c2，则角C=　　　. (2)在△ABC中，已知a∶b∶c=2∶∶(+1)，求各内角的度数. 延伸探究　本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为2，，+1”，求其最大角与最小角之和. 反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角，再利用余弦定理或由求得的第一个角利用正弦定理求出第二个角，最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角. 跟踪训练2　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b+c=3，bc=，则cos A等于(　　) A. B. C. D. (2)在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，求最大角的大小. 四、利用余弦定理判断三角形形状 问题4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 例3(课本例3)　在△ABC中，已知acos A=bcos B，试判断这个三角形的形状. 例3　在△ABC中，已知cos2=(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状. 反思感悟　(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形 b2+c2=a2或a2+b2=c2或a2+c2=b2； ②△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且c2+a2>b2； ③△ABC为钝角三角形 a2+b2