人教B版（2019） 必修 第四册 第十章 10.2.2 复数的乘法与除法（课件+学案+练习，共3份）

10.2.2　复数的乘法与除法 ［学习目标］　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 一、复数乘法的运算法则和运算律 问题1　类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 问题2　类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想. 知识梳理 1.复数的乘法法则 一般地，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2=　　　　　　　　　　. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=　　　　　 结合律 (z1z2)z3=　　　　　 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=　　　　 例1(课本例2)　计算(1+i)2与(1-i)2的值. 例1　计算下列各题. (1)(1-i)(1+i)+(2+i)2； (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. 反思感悟　(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开； ②再将i2换成-1； ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式及结论 ①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a，b∈R)； ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R)； ③(1±i)2=±2i. ④z=|z|2. 跟踪训练1　(1)计算：(1-i)2-(2-3i)(2+3i)等于(　　) A.2i-13 B.13+2i C.13-2i D.-13-2i (2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1) B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D.(-1，+∞) 二、复数除法的运算法则 问题3　类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 知识梳理 1.如果复数z2≠0，则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z=(或z=z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数. 2.一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数. 3.设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R，且c+di≠0)是任意两个复数， 则===+i. 例2　(1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为(　　) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 例2(2)(课本例3)　求(1+2i)÷(3-4i)的值. (2)计算：=　　　　. 反思感悟　复数的除法运算法则的应用 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 跟踪训练2　(1)满足=i(i为虚数单位)的复数z等于(　　) A.+i B.-i C.-+i D.--i (2)已知复数z=，是z的共轭复数，则的模等于(　　) A.4 B.2 C.1 D. 三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集 知识梳理 1.实系数一元二次方程根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为　　　　一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的. (1)当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的　　　　　； (2)当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ=b2-4ac<0时，方程有两个互为　　　　的虚数根. 2.实系数一元二次方程根与系数的关系 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是实数，且a≠0)的两根为x1，x2，那么x1+x2=-，x1x2=. 例3(课本例4)　在复数范围内求方程x2+2x+3=0的解集. 例3　在复数范围内求解下列方程： (1)3x2+x+2=0； (2)x2+ax+4=0(a∈R). 反思感悟　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x=； ②当Δ<0时，x=. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. 跟踪训练3　已知1+i是方程x2+bx+c=0(b，c为实数)的一个根. (1)求b，c的值； (2)试判断1-i是不是方程的根. 四、in的周期性及其应用 例4　已知i是虚数单位，复数z=+i2 027在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 反思感悟　in的周期性中常用结论 (1)i4n=1(n∈N)，i4n+1=i(n∈N) ... ...