专题训练八 矩形中的折叠问题（含答案）2024-2025学年数学华东师大版八年级下册

专题训练八　矩形中的折叠问题 求角度 1.如图,矩形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处,若AB'∥BD,∠1=26°,则∠BAF的度数为 (　　) A.57° B.58° C.59° D.60° 2.如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,将△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在边AD上,若∠AFB=50°,则∠DFE=　　　　. 3.如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>60°.现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连结AH,写出与∠BEG相等的角并加以证明. 求边长 4.如图,一张矩形纸片,按照下面步骤进行折叠: 第一步,在矩形纸片的一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平. 第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平. 第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处. 第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,得出矩形BCDE(图④).则矩形BCDE的宽与长的比值为　　　　. 图① 图② 图③ 图④ 5.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'的位置,AB'与CD相交于点E.若AB=8,DE=3,点P为线段AC上任意一点,PG⊥AE于点G,PH⊥EC于点H,试求PG+PH的值,并说明它是定值. 求面积 6.如图,将矩形ABCD对折,使边AB与DC,BC与AD分别重合,展开后得到四边形EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为 (　　) A.2 B.4 C.5 D.6 7.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,求重叠部分△AFC的面积. 8.如图,在矩形ABCD中,沿EF将矩形折叠,使A、C两点重合,AC与EF相交于点H. (1)求证:△ABE≌△AGF. (2)若AB=6,BC=8,求△ABE的面积. 求证有关结论 9.如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB、CD交于点G、F,AE与FG交于点O. 求证:四边形AGEF是平行四边形. 10.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,连结AE. 求证:(1)BF=DF. (2)AE∥BD. 【详解答案】 1.B　解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD∥BC.∴∠AFB=∠DAF.由翻折得∠B'=∠ABF=90°,∠AFB'=∠AFB,∴∠AFB'=∠DAF.∵AB'∥BD,∴∠B'AM=∠1=26°.∴∠AMB'=90°-∠B'AM=64°.∴∠AFB'+∠DAF=2∠DAF=∠AMB'=64°.∴∠DAF=32°.∴∠BAF=∠B'AF=∠B'AM+∠DAF=26°+32°=58°.故选B. 2.40°　解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°.由翻折可知∠EFB=∠C=90°,∴∠AFB+∠DFE=90°.∵∠AFB=50°,∴∠DFE=40°. 3.解:∠HEG=∠EHA=∠EAH=∠BEG. 证明:连结BH(图略).依据折叠的性质可得∠BEG=∠HEG,BE=EH,EG垂直平分BH. ∵点E是AB的中点, ∴AE=BE=EH. ∴∠EAH=∠EHA,∠EBH=∠EHB. ∵∠BAH+∠ABH+∠AHB=180°, ∴∠EHA+∠EHB=90°. 又∵∠HEG+∠EHB=90°,∴∠HEG=∠EHA. ∴∠BEG=∠HEG=∠EHA=∠EAH. 4.　解析:设BC=NC=MN=2,∵把这个正方形折成两个相等的矩形,∴NA=AC=1.∴AB==.∵把AB折到图③中所示的AD处,∴AD=AB=.∴CD=-1.∴矩形BCDE的宽与长的比值为. 5.解:如图,延长HP交AB于点M,则PM⊥AB. ∵∠1=∠2,PG⊥AB', ∴PM=PG. ∵CD∥AB,∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴AE=CE=8-3=5. 在Rt△ADE中,DE=3, ∴AD==4. ∵PH+PM=AD, ∴PG+PH=AD=4. ∵AD边的长是固定不变的, ∴PG+PH是定值. 6.B　解析:∵将矩形ABCD对折,使边AB与DC,BC与AD分别重合,展开后得到四边形EFGH,∴FH⊥GE.∵FH=AB=2,GE=BC=4,∴四边形EFGH的面积为FH·GE=×2×4=4.故选B. 7.解:由折叠性质如: ∠D'CA=∠DCA, ∵四边形ABCD是矩形, ∴DC∥AB. ∴∠DCA=∠BAC. ∴∠D'CA=∠BAC. ∴AF=CF. 设BF=x,则AF=CF=8-x, 在Rt△BFC中,由勾股定理得CF2=BF2+BC2, 即(8-x)2=x2+42,解得x=3. ∴S△AFC=×8×4-×3×4=10. 8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠BAD=∠BCD. 由折叠的性质得AG=CD, ∠EAG=∠BCD, ∴AB=AG,∠BAD=∠EAG.∴∠BAE=∠GAF. 又∵AB∥CD,AE∥GF,AD∥BC, ∴∠BEA=∠EAF=∠GF ... ...