高考数学基础知识自查手册 第四部分 直线与圆（几何）（PDF版）

第四部分 直线与圆 小 课 堂 直线与直线方程 ★ 1、倾斜角与斜率 倾斜角：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角，范围 0,π 斜 率：直倾斜角的正切值记为直线的斜率. △y y - y k= tanα= △x = 2 1 x (P(x1,y1)、Q(x2,y2)).2- x1 y Q k △yP △x o π α 2 π α x ★ 2、直线方程 点斜式 : y- y1= k(x- x1) (直线 l过点P1(x1,y1)，且斜率为 k)． 斜截式 : y= kx+ b(b为直线 l在 y轴上的截距 ). y - y 两点式 : 1 = x - x 1y - y x - x (y1≠ y2) (P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1≠ x2)).2 1 2 1 y 截距式 : x + a b = 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b≠ 0) 一般式 :Ax+By+C = 0(其中A、B不同时为 0). ※ 3、两直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y= k1x+ b1，l2 : y= k2x+ b2 ① l1 l2 k1= k2,b1≠ b2; ② l1⊥ l2 k1k2=-1. (2)若 l1 :A1x+B1y+C1= 0,l2 :A2x+B2y+C2= 0,且A1、A2、B1、B2都不为零, ① l l A1 = B1 C11 2 A B ≠ C ； ② l1⊥ l2 A1A2+B1B2= 0；2 2 2 ★ 4、直角坐标公式 两点间距离： AB = (x1 x2)2+ (y1 y2)2 |Ax0+By 点到直线距离： d= 0 + C | (点P(x0,y A2+B2 0 ),直线 l：Ax+By+C = 0). 两平行线间的距离公式：l1：Ax+By+C1= 0，l2Ax+By+C2= 0 = C 1 l l d C 2 则 1与 2的距离为 A2+B2 = k 2 k 两直线夹角公式：tanα 11+ k k k1、k2都存在，1+ k1k2≠ 02 1 x= x1 + x 22 中点坐标公式：A(x1,y1)、B(x2,y2)的中点坐标为： y (λ= 1)y= 1 + y 22 ·57· 小 课 堂 直线与圆的位置关系 1、圆的定义：平面上一动点P(x,y)到一定点A(a,b)的距离是常数 r的动点轨迹为圆. ★ 2、圆方程 (1)标准方程 : (x- a)2+ (y- b)2= r2. y P(x,y) (2)一般方程 : x2+ y2+Dx+Ey+F = 0(D2+E2- r4F> 0). 2 圆心 - D , - E 半径 r= D + E 2- 4F A(a,b) 2 2 2 (3)直径式方程 : (x- x1) (x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0 o x 圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2). ※ 3、点P(x ,y )与圆 (x a)2+ (y b)2= r20 0 的位置关系 (1)代数法：若 d= (a- x0)2+ (b- y 20) ，则 d> r 点P在圆外; P d= r 点P在圆上; d< r 点P在圆内. (2)向量法：取圆直径端点为A,B平面上一点为P， A O B 则有：AP BP< 0 P在圆内 AP BP= 0 P在圆上 AP BP> 0 P在圆外 ★ 4、直线与圆的位置关系 位置关系 相 离 相 切 相 交 d 图 示 d d r O rr O O 通过比较圆心O到直线 l的距离来 d判断位置关系的方法。 几何方法 = A a + B b+ Cd 其中 . A2+B2 d> r d= r d< r 通过联立圆方程和直线方程得到一元二次方程，用一元二次方程的 判别式判断位置关系的方法。 代数方法 y= kx+ b联立： 得：ax2+ bx+ c= 0,判别式：Δ= b2 4acF(x,y) = 0 Δ< 0 Δ= 0 Δ> 0 5、圆的切线方程 (已知圆 x2+ y2= r2) （1）过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为 x0x+ y y= r20 ; （2）斜率为 k的圆的切线方程为 y= kx± r 1+ k2. ·58· ※ 6、阿氏圆： y 给定两定点A、B,动点P满足AP= λBP λ> 0,λ≠ 1 P 小 课 堂 的关系，则P点的轨迹为圆，称为阿氏圆. A B O x 证明： 以AB中点为原点，建立如图直角坐标系，记定点A t,0 、B t,0 ，设P x,y 则： PA = x+ t 2+ y2、 PB = x t 2+ y2 由 AP = λ BP ，可得： AP 2= λ2 BP 2，即 x+ t 2+ y2= λ2 x t 2+ y2 变形可得： x λ 2+ 1 2t + y2= 2λ t 2 λ2 1 λ2 1 显然， 2λ t 2 2 > 0，上述方程表示以 λ + 12 2 t,0 为圆心，λ 1 λ 1 2λ t 2 为半径的圆方程.λ 1 若AB= a， A P = λ,AB与圆交于P、P，则圆直径PP = 2 a λ = 2 a PB 1 2 1 2 ， λ2 1 λ 1λ r= 2 a λ 1λ 线性规划与最优解 1相关概念： （1）线性约束条件：如果两个变量 x、y满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称 ... ...