高考数学基础知识自查手册 第一部分 平面向量（几何）（PDF版）

小 课 堂 几何 第一部分 平面向量 向量数量积中的 不是乘法 向量及其运算 ★ 1、向量的基本运算 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 B OA+OB=OC 记OA= x1,y1 ，OB= x2,y2 C 则 OA+OB = x1+ y1,x2+ y2 O A OA-OB=BA OB -OA= x2- x1,y加减法 2- y1 设 a= x1,y1 ,b= x2,y2 ，则：B OA+AB=OB a + b= x1+ x2,y1+ y2 O A a b= x1 x2,y1 y2 实数与 a 向量的 AB= λa= λ∈R 记 a= x,y ，则 λa= λx ,λyb λa 1 1 乘积 向量数 a b= a 记 a= (x1,y1)，b= (x2,y2)，则 量积 b cos a,b a b= x1x2+ y1y2 a θ cosθ= a b 设 a= x1,y1 ,b= x2,y ，则： 向量夹角 a 2 b × b x x + y ycosθ= 1 2 1 2 x2+ y2 21 1 x2+ y22 |a | = (a )2 a a± b = a± 2b 向量模长 = |a | = x2+ y2 a 2± 2a b+ 2b ※ 2、极化恒等式 (1) a b a b= 1 a 2 2 概念：设 、 是两个平面向量，则有恒等式： 4 + b - a - b (2)几何意义：向量的数量积为和对角线与差对角线平方差的 14 . a b= 1 AD 24 - BC 2 (3)空间几何与极化恒等式：在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点 O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系： ①PA2+PC 2=PB2+PD2 ； ② PA PC =PB PD. C D M A B ·38· 向量的位置关系 小 课 堂 ★ 1、平面向量基本定理 如果两个向量 a、b不共线，那么向量 p与向量 a、b共面的充要条件是：存在唯一实 数对 x、y，使 p= xa+ yb。 由此，可得下列结论：对空间任意两个向量 a、b， a//b（共线） 存在实数 λ使 a= λb． 2、共线问题 （1）P、A、B三点共线 AP AB AP= tAB OP= (1- t)OA+ tOB. 证明方法： 坐标方法：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)三点共线，则：AP= λPB， x= x1+ λx 2 1+ λ O A + λO B + OP= 1+ λ OP= tOA+ (1 t)OB 其中：t= 1 y y= 1 λy 2 1+ λ . 1+ λ (2)定理应用：平面上O，A，B三点不共线，D在直线AB O 上，且AD= λAB,令OA= a，OB= b，OD= x ，则有 a x b x = λb+ (1- λ)a .其表达意思就是从一个顶点O引出三 λ 1- λ 个向量，且它们共线，每一个向量 a，b分别乘它对面的比值. A D B ※ 3、等和线 平面内一组基底OA, OB 及任一向量OP,OP= λOA OB , R ， 若点 P在直线 AB 上或平行于AB的直线上，则 k (定值 ) ,反之也成立， O Q 把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线. k= OP ①当等和线恰为直线 AB 时， k 1 ； B ②当等和线在O 点和直线 AB 之间时,k 0,1 ； B P ③当直线 AB 在O 点和等和线之间时,k 1, ； P O A A ④当等和线过O 点时， k 0； ★ 4、平面向量的平行与垂直 位置关系 平行（共线） 垂 直 a a 图 示 b b 符号语言 = b λa a b= 0 坐标语言 x1y2 x2y1= 0 x1x2+ y1y2= 0 记忆口诀 交叉相乘差为零 对应相乘和为零 ·39· 小 课 堂 向量法研究三角形性质 A c b 1、三角形基础知识：在△ABC中，记角A、B、C所对的边长为：a、b、c （1）内角和定理：A+B+C = π B a C (2)大边对大角，大角对大边，即：A>B a> b,等边对等角，即B=C b= c a+ b> c (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即： a- b< c 2、三角形常用三心：设O为ΔABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为 a,b,c，则 ★ (1)重心： ①概念：三角形三条边中线的交点. A ②重心向量表达：O为ΔABC的重心 OA+OB+OC = 0. c b ③重心的性质： O B a C 1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰ 1. 2)重心和三角形 3个顶点组成的 3个三角形面积相等. ) x + x + x y + y + y 3 ΔABC中A(x ,y )、B(x ,y )、C(x ,y ),重心的坐标是G( 1 2 3 , 1 2 31 1 2 2 3 3 3 3 ) ★ (2)内心： A ①概念：三角形内切圆圆心.三内角角平分线交点. c b ②内心向量表达：O为ΔABC的内心 aOA+ ObOB+ cOC = 0. B a C ③内心的性质：1)内心到三角形边的 ... ...