小 课 堂 数理统计与概率 第一部分 统计学 单一数据的统计分析 1、抽样方法 （1）简单随机抽样：一个总体含有N 个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本， 且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，这样的抽样方法叫做简单随机抽样. （2）系统抽样法（等距抽样法、机械抽样法）：依据一定的抽样距离，从总体中抽取样本.从容 量为N 的总体中抽取容量为 n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定 的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法.步骤如下： ①编号：先将总体的N 个个体编号，有时可直接利用自身个体所带的号码，如学号等. ②分段：确定分段间隔 k，对编号进行分段，当N /n（n是样本容量）是整数时，取 k=N /n. ③确定第一个个体编号：在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l（l≤ k）. ④成样：按照一定的规则抽取样本，通常是将 l加上间隔 k得到第二个个体编号（l+ k），再 加上 k得到第三个个体编号（l+ 2k），依次进行下去，直到获取整个样本. （3）分层抽样：分层抽样法也叫类型抽样法.是从一个可以分成不同子总体（或称为层）的总 体中，按规定的比例从不同层中随机抽取样品（个体）的方法. ★ 2、用样本估计总体 众数： 出现次数最多的数据 中位数：按从小到大，处在中间的一个数据 (或中间两个数的平均数 ) n= 1 x1 + x 2+ x平均数：x x 3 + + x nn i= n 平均数反映数据总体水平i=1 n 2 2 2= 1 ( ) = 2= (x 1 x) + (x 2 x) + + (x n x )2 方差S n xi x 样本标准差：s s i=1 n 极差 = 最大数-最小数 ★ 3、频率分布直方图 频 率 组距 （1）概念：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与 频率分布直方图中，各小长方 组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的 形面积之和为 1 大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。 ( ) O 1 5 9 13 17 21 25 292 频率分布直方图的特征 1 图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为 1． 2 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势． 3 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数 据信息被抹掉． ·78· （3）频率分布直方图求数据 1 众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标． 小 课 堂 2 平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和． 3 中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 y轴的直线横坐标． ★ 4、茎叶图： 叶 茎 叶 将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变 4 8 5 6 9 7 6 9 2 6 9 化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶） 5 5 4 2 10 7 7 列在主干的后面，这样可以清楚地看到每个主干后面的几个数. 2 11 2 9 成对数据的统计分析 (一 )线性回归分析 ★ 1、回归直线方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系； ③线性回归方程：y= a+ bx(最小二乘法 )， n n xi- x yi- y xiyi-nx y b= i= 1 = i= 1 n n 其中 x 2 2 2i- x xi -nx . i=1 i=1 a= y - bx 注意：线性回归直线经过定点 (x,y). ※ 2、相关系数：(判定两个变量线性相关性 ) n n xi- x y i- y xiyi-nx y r= i= 1 = i =1 n x - x n n2 y - y 2 x2 n i 2 2 2i i -nx yi -ny i=1 i=1 i=1 i=1 注： (1) r> 0时，变量 x,y正相关；r < 0时，变量 x,y负相关；r∈ [ 1,1] (2) |r| 越接近于 1，两个变量的线性相关性越强； |r| 接近于 0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系. ※ 3、回归分析中回归效果的判定： ∧ ∧ (1)残差：ei= yi yi； n n (2)总偏差平方和：SST = ( yi- y )2 残差平方和：SSE= (yi- y 2i) ； i=1 i=1 n n n ∧ ... ...
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