2024-2025学年重庆市秀山高级中学高二（上）适应性数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差( ) A. B. C. D. 2.已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为( ) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 3.已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为( ) A. B. C. D. 4.在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 5.已知，直线：的方向向量与直线：的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为( ) A. B. C. D. 6.某学习小组研究一种卫星接收天线如图所示，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处如图所示已知接收天线的口径直径为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为( ) A. B. C. D. 7.直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知数列满足，且，记数列的前项和为，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列是首项为，公比为的等比数列，则( ) A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 10.下列说法正确的是( ) A. 若向量共面，则它们所在的直线共面 B. 若是四面体的底面的重心，则 C. 若，则，，，四点共面 D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 11.已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于，两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是( ) A. 线段的最小值为 B. 的内切圆与直线相切于点 C. 当时，双曲线的离心率为 D. 当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为_____． 13.在等比数列中，，，则 _____． 14.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知三点，，，记的外接圆为． 求的方程； 若直线：与交于，两点，求的面积． 16.本小题分 已知圆：经过点，离心率为． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ直线与椭圆交于点异于顶点与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程． 17.本小题分 已知数列的首项，设为数列的前项和，且有． 求数列的通项公式； 令，求数列的前项和． 18.本小题分 在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点． Ⅰ证明：平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值； Ⅲ若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值． 19.本小题分 如图，已知椭圆：的两个焦点为，，且，为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为，和，． 求双曲线的标准方程； 证明：直线，的斜率之积为定值； 求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：设的方程为， 由题意可得，解得， 所以的方程为； 由可得圆心，半径， 所以圆心到直线：的距离为， 且， 因此的面积为． 16.解：由题意可得， 所以， 所以椭圆方程为； 由题意可得直线的斜率存在，如图， 故设直线的方程为，，， 联立， 所以， 由根与系数的关系可得， 所以，， 故， 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为． 17.解：，可得， 上面两式相减可得， 化为， 即， 则， 对也成立，故，； ， 数列的前项和， ， 上面两式相减可得 ， ... ...
