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课件网) 7.3.3 余弦函数的性质与图象 人教B版(2019)必修第三册 1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象. 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值. 通过前面的学习，我们了解了正弦函数的图象与性质，那么余弦函数的图象与性质又是怎样的呢？ 问题1：类比正弦函数的定义，说说什么是余弦函数？ 对于任意一个角 x，都有唯一确定的余弦 cos x 与之对应，因此 y = cos x 是一个函数，一般称为余弦函数． 用余弦线可以直观地表示余弦函数的函数值， 如图， 就是角 x 的余弦线. O P x 1 M 问题2：余弦函数与正弦函数之间有什么联系？ y=cos x=sin(x + ) 思考：作余弦函数的图象，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一个方案，作出余弦函数的图象. （1）借助性质作图 （2）平移法 y=cos x=sin(x + ) y=sin x y=sin(x + ) 向左平移 个单位 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 余弦函数的图象 正弦函数的图象 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -3 -4 1 -2 y=sin(x+ )=cosx, x R 余弦曲线 正弦曲线 形状完全一样只是位置不同 定义域 零点 值 域 单调性 周 期 对称轴 奇偶性 对称中心 y x o - -1 2 3 -2 -3 1 R [-1,1] 时， 时， 由图象记性质， 由性质画图象 偶函数 () 增区间 减区间 () () 例1 求下列函数的值域： (1)y=3cos x+1；(2)y=3cos2x-4cos x+1，x∈[，]. 解：(1)∵ – 1 ≤ cos x ≤ 1，∴ -3 ≤cos x ≤ 3，且 – 2 ≤ 3cos x + 1 ≤ 4， 即 – 2 ≤ y ≤ 4. 当 cos x = -1 时，ymin= –2；当 cos x = 1 时，ymax= 4； 因此 y =3cos x + 1 的值域为 [–2，4] (2)y=3cos2x-4cos x+1，x∈[，]. (2)y=3cos2x-4cos x+1=3(cos2x-cos x+)=3(cos x-)2-， 令cos x=t，则y=3(t-)2-，t∈[-1，1]， ∵-1≤ t≤1]时，-≤t-≤， ∴0≤(t-)2≤， ∴-≤3(t-)2-≤8， ∴该函数的值域为[-，8]. 例2 函数y＝3cos 2x＋4(x∈R)是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的奇函数 解析：∵f(x)＝3cos 2x＋4，x∈R， ∴f(－x)＝3cos(－2x)＋4＝f(x)为偶函数，T==π. A 判断三角函数的奇偶性的方法： 方法归纳 (1)利用图象法：若图象关于原点对称，则函数为奇函数； 若图象关于y轴对称，则函数为偶函数. (2)根据奇偶性的定义判断： 若对定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数； 若对定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数. 例3 求函数 y = 2cos ( – ) 的周期和其图象的对称轴方程. 解：因为 y = 2cos ( – ) = 2sin [( – ) + ] = 2sin ( + )，所以 T = = 6π. 令 + = + kπ (k∈Z)，解得 x = + 3kπ (k∈Z). 所以函数 y = 2cos ( – ) 的周期为 6π， 其图象的对称轴方程为 x = + 3kπ (k∈Z). 例4 已知函数 f(x) = 2cos(–3x) ，x∈[-，]，求f(x)的单调递增区间. 解： f(x)= 2cos(–3x)可化为f(x)=2cos(3x-)， 故单调递增区间满足2kπ-π≤3x-≤2kπ，k∈Z， 解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z， 令k＝0，-≤x≤， 令k＝1，≤x≤， ∵x∈[-，]，∴ f(x)的单调递增区间是[-，]，[，]. 余弦型函数单调区间的求法 ①如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正. ②将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围. ③若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间. 方法归纳 1.下列函数中，周期为 的是( ) 2.函数 是( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 D B 3.若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为( ) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a 4.函数 f(x) = 2cos(πx-)的图象 ... ...
