7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课件（共19张PPT） 2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(课件网) 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 人教B版(2019)必修第三册 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式. 2.会利用同角三角函数的基本关系式解决相关问题. 当角α取0°，30°，45°，60°时，分别计算式子sin2α+cos2α，，tan α的值. 从中你发现了什么规律 问题：sin2α+cos2α=1是否对任意角都成立 =tan α当α≠kπ+，k∈Z时是否都成立 是 如何证明呢 如图，设点 P(x，y)是角 α 的终边与单位圆的交点. 过 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点M，则 △OMP 是直角三角形，且 OP = 1. 已知：sin α = ，cos α = ，△OMP 是直角三角形； 根据勾股定理：OM 2 + MP 2 = 1，即 x12 + y12 = 1； ∴ sin2α + cos2α = 1； 又 tan α = ，∴ tan α = ； x y O A (1，0) α P 1 M 同角三角函数的基本关系 平方关系: sin2α + cos2α = 1 （当 α 的终边与坐标轴重合时，同样成立） 商数关系: tan α = （根据定义，当 ≠ kπ + ( k∈Z ) 才成立） 总结：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切. 例1 已知 ，求角α的余弦和正切． 解：因为，所以是第三、四象限角. 当α是第三象限角时， ，; 当α是第四象限角时， ，. 变式：已知 ，求角α的正弦和余弦． 例2 (1)已知sin α＋cos α＝－，0<α<π，求sin αcos α的值； (2)已知tan α＝2，求下列各式的值． ①；②2sin2α－sin αcos α＋cos2α. 解：(1)由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝， sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，则sinαcos α＝－. (2)因为tan α＝2，所以①＝＝－. ②＝＝＝. 1.已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口． 方法归纳 2.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 例3 若sin α·tan α<0，化简. 解:∵sin α·tan α<0，∴cos α<0. 原式＝ ＋ ＝＝ ＝＝－. 1.证明恒等式的常用思路: (1)从一边证到另一边，一般由繁到简; (2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者; (3)比较法(作差法，作比法). 2.常用的技巧: (1)巧用“1”的代换; (2)化切为弦; (3)多项式运算技巧的应用(分解因式). 方法归纳 2.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=，则这个三角形是(　　)　　　　　　　　　　　　 A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 C D 3.(多选)如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　) A.tanα＝－ B.cos α＝－ C.sinα＝ D.tanα＝ 4.若sin α＋3cos α＝0，则的值为_____. BC － 根据今天所学，回答下列问题： （1）说一说同角三角函数的基本关系 （2）上述同角三角函数的基本关系有哪些基本变形？ ... ...