“艺实杯”理科思维挑战赛数学卷(八年级上) 一、填空题 (每空 6 分, 共 60 分) 1. 已知一次函数 ,当自变量 的取值范围为 时, 既能取到大于5的值,又能取到小于3的值,则实数a的取值范围是_____。 2. 方程 的所有实数解的和是_____([x]表示不大于 的最大整数) 3. 为斜边的等腰直角三角形 内一点 使得 ,则 的面积为_____。 4. 从1-2024的前2024个正整数中随机选数,则至少要挑出_____个数才能保证这些数中存在一个三元数组满足存在以这三个数为边长的不等边三角形。 5. 已知 ,令 的最小值为 若 , 记 的最大值为 ,则 _____。 6. 如图,在长方形 中,由8个面积均为1的小正方形组成 型模板如图放置,则长方形ABCD的面积为_____。 第 6 题图 第 9 题图 7. 正实数 满足 ,则代数式 的最小值为_____。 8. 方程 有三个实数根,则 _____. 9. 如图, 在 的同侧, ,点 为 的中点,若 ,则 的最大值是_____。 10. 不等式 对一切实数 都成立,则实数 的取值范围是_____. 二、解答题 (共 3 题, 共 40 分) 11. (12 分) 在平面直角坐标系中,对于任意两点 与 的 “切比雪夫距离”,给出如下定义: 若 ,则点 与 的 “切比雪夫距离” 为 : 若 ,则点 与 的“切比雪夫距离” 为 ; (1) 已知 , ①若 的坐标为(3,1),则点 与 的“切比雪夫距离”为_____； ②若C为x轴上的动点,那么点A与C“切比雪夫距离”的最小值为_____； 已知 ,设点 与 的“切比雪夫距离”为 ,若 ,求 (用含 的式子表示)。 12. (14 分)如图,在 中,点 为 的中点, 。 (1) 求证: ; (2) 若 三边长分别为 ,且 均为整数,求证: 中必有一个是 3 的倍数。 (14 分) 证明: . 参考答案 1.解析： 当 时, ,此时 随 增大而增大, 把 代入 得 , 把 代入 得 , 由题意得 , 解得 . 当 时, ,此时 随 增大而减小, 把 代入 得 ,不符合题意. 的取值范围是 . 2.解析： , 与 矛盾; 与 矛盾; 与 矛盾; 综上,方程 的所有解为1, , ,7. 3.解析： 设 ,以 为坐标原点, , 所在直线分别为 轴, 轴,建立直角坐标系 , ,设 , ① ,② ,③ 将①代入②,可得 , 将①代入③, , , 将 ,代入①中得, , , 或 (舍), , 故答案为: . 4.解析： 解析:考虑最不利的情况,先挑出 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,共16 个数,再挑出 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,2 3,24,共24个数,此时,不存在以三个数为边长的不等边三角形.若再挑出 1 个数, 则必存在一个三元数组满足以三个数为边长的不等边三角形.所以至少要挑出17个数才能保证这些数中存在一个三元数组满足存在以三个数为边长的不等边三角形. 答案17个 5.解析： 根据题意,令 , , , 联立方程组可求得直线 与直线 的交 点为 ,直线 与 的交点 为 ,直线 与 的交点为 再分情况进行分析:当 时, ； 当 时, ； 当 时, ； 当 时, . 进而求出6 =18 6.解析： 根据等角的余角相等,得 . 又 , . . , , 设 ,则 ,根据勾股定理,得 则矩形 的面积为 = 7.解析： 将方程化为 , 方程有三个实数根可以看作是函数 和函数 的图象有三个交点, 化简绝对值可得函数 ,且函数 的图象过定点(1,0), 函数图象如下: 由图可知,只有当 过点(-1,1)时,才有三个交 点, , . 故答案为: . 9.解析： 【解析】 如图,作点 关于 的对称点 ,点 关于 的对称点 ,连接 , , , , , , 为等边三角形 的最大值为 14, 10.解析： 对一切 都成立, 即 对一次 都成立, , 只需 , , 12.解析： 证明 如图 38.2 所示,在 上取一点 使得 . 联结 并延长至点 , 使得 ,联结 . 图 38.2 因为 所以 所以 在 与 中 所以 所以 因为 所以 所以 因为 所以 所以 13.解析： 先证明1 ,再利用累乘法即可得证 . 先证明 , 要证 ,即证 ,即证 ,即证2 , 当n≥3时, ,即得证, , . ... ...
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