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课件网) 第九章 因式分解 七下数学 JJ 9.3 公式法 课时2 完全平方公式 1.经历通过乘法公式(a±b)2 =a2±2ab+b2的逆向变形得出利用公式法分解因式的过程，发展逆向思维和推理能力. 2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式. 3.掌握因式分解的一般步骤,并能进行相关恒等变形、计算与求值. . 1.因式分解： 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b) 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式. 多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能试着将它们分解因式吗？ a2＋2ab＋b2 =a2＋ab＋ab＋b2 =a(a＋b)＋b(a＋b) =(a＋b)(a＋b) a2－2ab＋b2 =a2－ab－ab＋b2 =a(a－b)－b(a－b) =(a－b)(a－b) =(a＋b)2 =(a－b)2 提公因式 提公因式 分组 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 整式乘法 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2 a2＋2ab＋b2=(a＋b)2 a2－2ab＋b2=(a－b)2 因式分解 a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 知识点1 完全平方公式的结构特征 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b + b2 ± =(a ± b) a2 首2 + +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 知识点1 完全平方公式的结构特征 例 1 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a ; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b 与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 知识点1 完全平方公式的结构特征 对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空： ③ a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( ) ② m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( ) ① x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( ) x 2 x+2 a a 2b a + 2b 2b m m - 3 3 x 2 m 3 知识点2 用完全平方公式分解因式 . . . 例2 把下列各式分解因式： (1)t2＋22t＋121； (2)m2＋ n2－mn. 解：(1)t2＋22t＋121 =t2＋2×11t＋112 =(t＋11)2. 知识点2 用完全平方公式分解因式 跟踪训练 下面的多项式能否用完全平方公式分解因式 请说明理由. (1)x2＋10x＋25； (2)4m2－4m＋l； (3)4a2＋18ab＋9b2； (4)m2－4mn＋4n2. 解：(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2. (2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2. (3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2. (4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2. 知识点2 用完全平方公式分解因式 思考：具有什么特征的多项式能用完全平方公式分解因式 具有a2＋2ab＋b2或a2-2ab＋b2特征的多项式能用完全平方公式分解因式. 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解. 知识点2 用完全平方公式分解因式 解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4 =(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22 =(x＋y－2)2 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法. 例3 把下列各式分解因式： (1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4； (2)(3m－1)2＋(3m－1)＋ . 知识点2 用完全平方公式分解因式 例4 把下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2)＝3 ... ...
