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课件网) 第三章 圆 3.3 垂径定理 北师大版九年级下册数学课件 目录 目录 CONTENTS CONTENTS 1-新知导入 2-探究新知 3-巩固练习 4-课堂小结 新知导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 问题:你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 情境引入 · O A B D P C 问题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么 线段: AP=BP 弧: 理由如下： 把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP与 BP 重合， 和 , 与 重合． 垂径定理及其推论 · O A B D C P 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， ， 证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA=OB. 即 △AOB 是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而 ∠AOD=∠BOD. 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ 探究新知 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如. 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. ∵ CD 是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP=BP， (结论) 归纳总结 推导格式： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O E A B D C O E A B O C D E O A B C 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C 归纳总结 A B O D C 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE 证明猜想 ④ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） · O A B C D E 解：（1）连接AO，BO，则 AO=BO. 又∵AE=BE， ∴∠AEO=∠BEO=90°. ∴ CD⊥AB. 证明举例 ∴△AOE≌△BOE（SSS） （2）由垂径定理可得 与 相等吗？ 与 相等吗？ 为什么？ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 特别说明： 垂径定理的本质是: 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若 ⊙O 的半径为 10 cm， OE=6 cm，则 AB= cm. · O A B E 解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB = 2AE = 16 cm. 16 ∴ cm. 典例精析 垂径定理及其推论的计算 例2 如图，⊙O 的弦AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 设 OC = x cm，则 OD= x-2，根据勾股定理，得 解得 x = 5. 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + ( x - 2)2， . M C D A B O N 例3：已知：⊙O中弦 AB∥ ... ...
