4.2.1 回归直线方程 课件（共19张PPT） 2024-2025学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第二册

(课件网) 4.2.1 回归直线方程 1.了解一元线性回归模型的概念及最小二乘法原理，掌握回归直线方程的求法. 在上节课中，我们已经判断出班级中学生的数学成绩与物理成绩这两个变量之间具有线性相关关系，于是我们希望用一条直线或一个线性函数(图象为直线的函数)来反映所给出的散点图的分布趋势. 找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这样所得到的直线就可以比较科学地反映实际问题中两个变量之间的相关关系. 这条直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程. 有了回归直线方程，就可以由一些变量的值去 估计或预测另一些变量的值. 由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析. 在回归分析中，被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示. 用来预测或解释因变量的变量称为自变量，用x表示. 如果具有相关关系的两个变量x、y可用方程 y=a+bx (1) 来近似刻画，其中a，b是待定系数. 某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下数据 第x年 1 2 3 4 5 6 7 污染指数y 6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1 (1)作出这些成对数据的散点图，则污染指数y与x是否线性相关？如果是，判断是正相关还是负相关. y与x是具有线性相关关系，且为负相关. （2）如何找出近似描述y与x之间关系的一次函数表达式？ 例如：过点(1，6)和(7，3)，得 y=-0.5x+6.5. y=-0.5x+6.5是最好的直线吗？衡量标准是什么呢？ 过点(1，6)和(6，3.4)，得 y=-0.54x+6.52. ...... 第x年 1 2 3 4 5 6 7 污染指数y 6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1 预测值-0.5x+6.5 误差(残差) 6 5.5 4.5 5 4 3 0.1 -0.3 -0.5 0.2 -0.2 -0.1 0.1 3.5 由函数表达式y=-0.5x+6.5可得下表： “最好”的直线 误差平方和最小. 取得最小值， 则 称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y=bx+a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值 最小二乘法. 方法 如果一次函数 能使残差平方和即 回归直线方程 最小二乘法确定回归直线方程 给定两个变量y与x的一组数据之后，回归直线方程 总是存在的， 其中称为回归系数.它实际上也就是回归直线方程的斜率. 而且 例1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表： (1) 画出散点图； (2) 求物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程(结果保留三位小数). 学生 A B C D E 数学成绩x / 分 88 76 73 66 63 物理成绩y / 分 78 65 71 64 61 O x y 解：(1) 散点图如图所示. (2) ∵，， ， ， ∴≈0.625，， 因此y关于x的回归直线方程为22.050+0.625x. 学生 A B C D E 数学成绩x / 分 88 76 73 66 63 物理成绩y / 分 78 65 71 64 61 (1)画出散点图．从直观上分析数据间是否存在线性相关关系． (2)计算 等相关数据． (3)代入公式求出 中参数 的值． (4)写出回归方程并对实际问题作出估计． 归纳总结 求线性回归方程的步骤： 思考：假设y与x具有相关关系，而且回归直线方程为+， (1)将=代入回归直线方程，并求出 将 = 代入 +，可得 即：回归直线一定过(，). 一次函数 + 的单调性由决定. 即：y与x正相关的充要条件；y与x负相关的充要条件 (2)一次函数 + 的单调性由谁决定？函数的单调性与正相关、负相关之间有怎样的联系？ (3)当x每增大一个单位时， 将如何变化 ？ 由直线方程的性质可知， 归纳总结 ①回归直线一定过(，). ② y与x正相关的充要条件； y与x负相关的充要条件 ③ 回归直线方程的性质: 例2 如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示. 数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 (1)求出y关于x的回归直线 ... ...