第五章 复数（共2份）（含解析）—2025年春高一数学北师大版（2019）必修二单元测试卷

第五章 复数（能力提升）—2025年春高一数学北师大版（2019）必修二单元测试卷 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数z满足,则复数z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若复数z满足,则的虚部为( ) A. B. C.1 D.2 3.已知，为关于x的实系数方程的两个虚根，则( ) A. B. C. D. 4.已知复数，且，其中a，b为实数，则( ) A. B. C. D.4 5.若复数z满足,则( ) A. B. C. D. 6.已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，O为原点，若为纯虚数，则( ) A. B. C.A，O，B三点共线 D.A，O，C三点共线 7.设表示复数，的点在复平面内关于实轴对称，且，下面关于复数的四个命题中正确的是( ) A. B. C.z的共轭复数为 D.z的虚部为 8.已知复数，满足，，则( ) A.3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知复数，（i为虚数单位），则( ) A. B.的虚部为-2i C. D.在复平面内对应的点位于第四象限 10.已知复数，满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是( ) A. B. C.的最小值为3 D.的最小值为3 11.已知复数,为的共轭复数,则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若复数，则_____. 13.若复数（i是虚数单位）为纯虚数,则实数a的值为_____. 14.已知复数和复数满足,（i为虚数单位）,则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）(1)已知,若为实数,求m的值. (2)已知复数z满足,若复数z是实系数一元二次方程的一个根,求的值. 16.（15分）已知复数，且为纯虚数. （1）设复数，求； （2）设复数，且复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围. 17.（15分）设z是虚数， (1)求证为实数的充要条件为； (2)若，推测为实数的充要条件； (3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数z. 18.（17分）已知复数,在复平面内对应的点分别为,,O是坐标原点,点M是复平面内一点,且. (1)若,,,求与的关系; (2)若不共线,M,,三点共线,求的值. 19.（17分）通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对看作一个向量,记,称为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于,我们有如下运算法则:①;②;③;④. （1）设,,求和; （2）类比平面向量数量积满足的运算律,得出复向量的一个相关结论,判断其是否正确并说明理由; （3）设,集合,.求的最小值;并证明当取最小值时,对于任意的. 答案以及解析 1.答案：A 解析：由题意可得, 所以z在复平面内对应的点为,位于第一象限. 故选:A. 2.答案：C 解析：因为,所以, 则,故的虚部为1. 故选:C. 3.答案：A 解析：由，， ∴方程的两个虚根为， 或，， 不妨取，， 则，， ∴. 故选：A. 4.答案：C 解析：因为复数，a，b为实数， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 5.答案：B 解析：设,则, 又,得到, 所以,,所以,,或,,得到, 所以. 故选：B. 6.答案：A 解析：设，，则， 又为纯虚数，则，.，，，故.故选A. 7.答案：B 解析：由复数，的点在复平面内关于实轴对称，且， 则，则， ，A错误； ，B正确； z的共轭复数为，C错误； z的虚部为，D错误. 故选：B. 8.答案：D 解析：设，，且a，b，c，， 由已知得，， 得， 又， 故，， 同时平方得，， 相加并化简得， 而， . 故选：D 9.答案：AC 解析：A选项：由，则，A选项正确； B选项：的虚部为-2，B选项错误； C选项：，，故，C选项正确； D选项：， 其在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限，D选项错误； 故选：AC. 10 ... ...