安徽省黄山一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题(含解析)

黄山一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题 时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知向量，满足，且在上的投影为，则，( ) A. B. C. D. 3.某袋子中有大小相同的个白球和个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率( ) A. B. C. D. 4.已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点，若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则( ) A. B. C. D. 5.已知函数，则关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 6.已知数列的通项，若，，且，使得，则的取值个数为( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知函数不恒为零，其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则( ) A. B. 是偶函数 C. 关于点对称 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设，为复数，则下列说法中正确的有( ) A. B. C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 10.如图，在中，，，平面，点，在平面的同侧，，在平面内的射影，的长分别为，，则( ) A. 平面 B. C. 四棱锥的体积为 D. 平面与平面的夹角的正弦值为 11.已知，是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，和的内切圆半径分别为，设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是( ) A. B. 双曲线的离心率 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中的系数为_____． 13.如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为_____． 14.在中，角，，所对的边分别为，，，且外接圆半径为，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据： 女 男 未参加跳绳比赛 参加跳绳比赛 能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关 为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率． 附：，其中． 16.本小题分 已知函数． 当时，求在处的切线方程 已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求． 17.本小题分 如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为棱的中点． 若直线与平面的交点为，证明：平面 已知平面，，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 已知椭圆的离心率为，短轴长为． 求椭圆的标准方程 若直线与椭圆相切于点． (ⅰ)证明：直线与直线的斜率之积为定值 (ⅱ)设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 19.本小题分 “外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项． 比如外观数列为： 第一项：， 第二项：描述第一项为个， 第三项：描述第二项为个，个， 第四项：描述第三项为个，个，个， 第五项：描述第四项个，个，个． 求“外观数列”的第三项和第五项 若从“外观数列” ... ...