马鞍山市红星中学2025届高三上学期期末质量检测数学试题(含解析)

红星中学2025届高三上学期期末质量检测数学试题 时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知复数，则( ) A. B. C. D. 3.已知公差不为的等差数列中，且，则( ) A. B. C. D. 4.正方体的棱长为，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 5.把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，下列选项中，使得函数单调递减的是( ) A. B. C. D. 6.设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，若，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知函数有三个零点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 点的坐标为 10.在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则( ) A. 椭圆的离心率为 B. 当时， C. D. 当点在第三象限时，若，则 11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面阴影部分叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面设，则下列结论正确的是( ) A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为_____． 用数字作答 13.编号为，，，的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过的概率是_____． 14.已知函数，若关于的方程有个不相等的实数解，则实数的取值范围是 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在前项和为的等比数列中，，，． 求数列的通项公式； 令，求数列的前项和． 16.本小题分 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约若连续预约三天都没成功，则放弃预约假设该同学每天预约门票成功的概率均为， 求甲同学到第三天才预约成功的概率 记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望． 17.本小题分 如图，四棱锥中，是边长为的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． 证明：； 过，两点的平面与直线，分别交于点，，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 已知椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为． 求椭圆的方程 直线与椭圆交于，两点，点为的外心． (ⅰ)若为等边三角形，求点的坐标 (ⅱ)若点在直线上，求点到直线的距离的取值范围． 19.本小题分 已知函数，且在上的最小值为． 求实数的取值范围； 设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质． 求证：函数在上具有性质； 记，其中，求证：．红星中学2025届高三上学期期末质量检测数学试 ... ...