当涂一中2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题 考试范围：高考全部内容；时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则( ) A. B. C. D. 2.某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是，，，，，，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为( ) A. B. C. D. 3.已知向量，满足，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4.已知四面体的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体体积的最大值为( ) A. B. C. D. 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，年英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲年英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题现有这样一个问题：将正整数中能被除余且被除余的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则( ) A. B. C. D. 6.设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线：的离心率为，双曲线的一条渐近线与圆：交于，两点，则( ) A. B. C. D. 8.已知函数满足，，，当时，，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有( ) A. 的展开式中，的系数是 B. 的展开式中，各二项式系数和为 C. 从名男生，名女生中选名学生参加志愿者服务，表示参加志愿服务的男生人数，则 D. 有个不同的正因数 10.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“”如图，曲线：是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是( ) A. B. 上存在点，使得 C. 上的点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为 11.已知中，，，，分别在线段，上，且，现将沿折起，使二面角的大小为以下命题正确的是( ) A. 若，，则点到平面的距离为 B. 存在使得四棱锥有外接球 C. 若，则棱锥体积的最大值为 D. 若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时， 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若集合，，，则的最小值为_____． 13.若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值集合为_____． 14.已知函数，过点可作条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动若抽中金奖，则可获得元现金；若抽中银奖，则可获得元现金已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有次抽奖机会，乙有次抽奖机会． 求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； 记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望． 16.本小题分 已知直三棱柱中，，，分别为和的中点，为棱上的动点，． 证明：平面平面； 设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为？ 17.本小题分 已知函数，其中． 当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围； 若是函数的极小值点，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为． 求椭圆的方程 直线与椭圆交于，两点，点为的外心． (ⅰ)若为等边三角形，求点的坐标 (ⅱ)若点在直线上，求点到直线的距离的取值范围． 19.本小题分 给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作， ... ...
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