6.3.1 空间图形基本位置关系的认识 学案 (原卷版+解析版)

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1　空间图形基本位置关系的认识 学习目标 1.了解空间点、直线、平面之间的位置关系并会用图形语言、符号语言表示位置关系,提升直观想象、数学抽象的核心素养. 2.掌握利用定义判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,培养数学抽象的核心素养. 知识探究 问题1:空间图形由点、线、面构成.点动成线,线动成面,面动成体.可见点是空间图形最基本的元素,线和面都是点的集合.元素与集合的关系有几种 元素a和集合A的关系如何用符号表示 提示:两种;a是集合A的元素记为a∈A,a不是集合A的元素记为 a A. 知识点1　点与直线、点与平面的位置关系 (1)点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外. 位置关系 图形表示 符号表示 点B在直线a上, 点A在直线a外 B∈a, A a (2)点与平面的位置关系有两种:点在平面内和点在平面外. 位置关系 图形表示 符号表示 点A在平面α内, 点B在平面α外 A∈α, B α 问题2:在同一平面内,直线与直线的位置关系有哪几种 提示:有相交和不相交两种. 知识点2　直线与直线、直线与平面的位置关系 (1)直线与直线的位置关系有两种:直线与直线相交和直线与直线不相交. 位置关系 图形表示 符号表示 直线a和直线b相交 a∩b=O 直线a和直线b 不相交 或 a∩b= (2)直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行. 位置关系 图形表示 符号表示 直线a在平面α内(直线a上的每个点都在平面α内) a α 直线a与平面α相交(直线a和平面α只有一个公共点) a∩α=A 直线a与平面α平行(直线a和平面α没有公共点) a∥α (a∩α= ) [思考] 空间中,两条直线不相交,一定平行吗 提示:不一定. 问题3:两条直线可以只有一个公共点,直线和平面也可以只有一个公共点,两个平面是否可以只有一个公共点呢 提示:不可以. 知识点3　平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有两种:平面与平面不相交和平面与平面相交. 位置关系 图形表示 符号表示 平面α与平面β不相交,则称这两个平面平行 α∥β (α∩β= ) 平面α与平面β相交 α∩β=a 探究点一　点与直线、点与平面的位置关系 [例1] 如图,O是长方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1的中点,判断点A与直线AB,BC,CC1,C1O,平面ABCD、平面BCC1B1的位置关系,并用符号表示. 解:点A在直线AB上,在直线BC,CC1外,在直线C1O上,在平面ABCD内,在平面BCC1B1外; 符号表示分别是A∈AB,A BC,A CC1,A∈C1O,A∈平面ABCD, A 平面BCC1B1. 判断点是否在直线上和是否在平面内时,要注意利用直线是无限延伸的、平面是无限延展的,同时要注意利用题目的隐含条件,例如平行四边形的对角线互相平分、棱台的棱延长后交于一点. [针对训练] 如图,点O是棱台ABCDA1B1C1D1的两条侧棱 BB1,CC1的延长线的交点,判断点O与直线BB1,BC,AA1,平面BCC1B1、平面ABCD、平面ADD1A1的位置关系,并用符号表示. 解:点O在直线BB1上,在直线BC外,在直线AA1上,在平面BCC1B1内,在平面ABCD外,在平面ADD1A1内;符号表示分别是O∈BB1,O BC,O∈AA1,O∈平面BCC1B1,O 平面ABCD,O∈平面ADD1A1. 探究点二　直线与直线、直线与平面的位置关系 [例2] 在长方体ABCDA1B1C1D1中,判断直线AB与直线BC,CD,C1D1,平面ABCD、平面BCC1B1、平面A1B1C1D1的位置关系,并用符号表示. 解:直线AB与BC相交于点B,与CD不相交,与C1D1不相交,在平面ABCD内,与平面BCC1B1相交于点B,与平面A1B1C1D1平行. 用符号表示分别为AB∩BC=B,AB∩CD= ,AB∩C1D1= ,AB 平面ABCD, AB∩平面BCC1B1=B,AB∥平面A1B1C1D1. 直线与直线的位置关系分为两种,事实上,两条直线不相交还可以再分为两种情况,将在后面学习;直线和平面的位置关系分为三种,其中直线和平面相交、直线和平面平行这两种情况可以统称为直线在 平面外. [针对训练] 如图,在四 ... ...