6.3.2 第2课时 基本事实4、等角定理、异面直线的夹角 学案 (原卷版+解析版)

第2课时　基本事实4、等角定理、异面直线的夹角 学习目标 1.理解并掌握基本事实4及等角定理,发展逻辑推理的核心素养. 2.了解异面直线的定义、画法及判断方法,发展直观想象的核心素养. 3.掌握异面直线所成的角的概念、求法,发展逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养. 知识探究 问题1:在平面几何中,我们学习过“平行于同一条直线的两条直线互相平行”,观察一个棱柱的三条侧棱,它们所在的三条直线确定了几个平面 它们所在的直线都互相平行吗 提示:三条直线确定三个平面,这三条直线互相平行. 知识点1　基本事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. [思考1] 如何用符号语言表示基本事实4 提示: a∥c. 问题2:空间两条平行直线和两条相交直线都在同一个平面内(即共面),空间内还有这样的两条直线,它们不能处在同一个平面内,以长方体ABCDA1B1C1D1为例,找出这样的两组直线. 提示:直线AB与直线CC1,直线AB与直线A1D1(答案不唯一). 知识点2　异面直线 (1)异面直线:不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线. (2)空间两条直线的位置关系有且只有三种: (3)异面直线的画法. 画异面直线时,为了表示异面直线a,b不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点,如图(a)(b)(c)所示. [思考2] “异面直线就是不同在一个平面内的直线”这种说法对吗 提示:不对.不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线,如图,虽然有a α,b β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线. 知识点3　等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补. [思考3] 一个角的两边与另一个角的两边分别平行时,两个角相等或互补的条件是什么 提示:若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反,那么这两个角相等;若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,其中一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角互补. 问题3:平面内两条直线相交成4个角,它们之间有什么关系 提示:所成的对顶角相等,邻补角互补. 知识点4　 两条直线的夹角 (1)平面内两条直线相交成4个角,其中不大于90°的角称为它们的夹角.夹角刻画了一条直线相对于另一条直线的位置关系. (2)异面直线的夹角. ①已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,这时a′,b′共面,我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a,b的夹角. ②若两条异面直线a,b的夹角是直角,则称这两条直线互相垂直,记作:a⊥b. ③当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们的夹角为0°,所以空间两条直线的夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 探究点一　基本事实4及等角定理 [例1] 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD, B1C1,C1D1的中点.求证: (1)EFE1F1. (2)∠EA1F=∠E1CF1. 证明:(1)如图, 连接BD,B1D1, 在△ABD中, 因为E,F分别为AB,AD的中点, 所以EFBD. 同理,E1F1B1D1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1DD1, 所以四边形BB1D1D为平行四边形, 所以BDB1D1. 又EFBD,E1F1B1D1, 所以EFE1F1. (2)如图,取A1B1的中点M,连接F1M,BM, 则MF1B1C1. 又B1C1BC, 所以MF1BC, 所以四边形BMF1C为平行四边形, 所以BM∥CF1. 因为A1M=A1B1,BE=AB, 且A1B1AB, 所以A1MBE, 所以四边形BMA1E为平行四边形, 所以BM∥A1E, 所以CF1∥A1E. 同理可证A1F∥CE1. 因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反, 所以∠EA1F=∠E1CF1. (1)空间两条直线平行的证明: 一是定义法,即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点. 二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质. 三是利用基本事实4,找到一条直线使所证的直线都与这条直线平行. (2)证明角相等的方法:若已知条件中 ... ...