6.5.2 第2课时 平面与平面垂直的判定 学案 (原卷版+解析版)

第2课时　平面与平面垂直的判定 学习目标 1.理解并掌握两个平面垂直的判定定理及其简单应用,培养逻辑推理和数学抽象的核心素养. 2.能够综合应用线线、线面、面面垂直的性质定理和判定定理解题,提升逻辑推理和直观想象的核心素养. 知识探究 问题1:教室门绕轴转动,门所在的平面与地面的位置关系发生改变吗 书脊与桌面垂直固定,每页纸所在的平面与桌面的位置关系相同吗 它们之间始终保持什么关系 提示:不改变;相同;垂直关系. 知识点　平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α,l β α⊥β [思考] 过平面外一点能够作几个平面与已知平面垂直 提示:无数个. 问题2:两个平行平面中的一个与一个平面垂直,那么另一个平面与该平面垂直吗 提示:垂直. 探究点一　两个平面垂直的判定 [例1]如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC. 求证:平面ABC⊥平面SBC. 证明:法一(利用定义) 因为∠BSA=∠CSA=60°, SA=SB=SC, 所以△ASB和△ASC是等边三角形, 则有SA=SB=SC=AB=AC. 令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD, 则AD⊥BC,SD⊥BC, 所以∠ADS为二面角ABCS的平面角. 在Rt△BSC中,因为SB=SC=a, 所以SD=a,BD==a, 所以在Rt△ABD中,AD=a. 在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2, 所以∠ADS=90°, 即二面角ABCS为直二面角, 故平面ABC⊥平面SBC. 法二(利用判定定理)　因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°, 所以SA=AB=AC, 所以点A在平面SBC上的投影为△SBC的外心. 因为△SBC为直角三角形, 所以点A在△SBC上的投影D为斜边BC的中点, 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD 平面ABC, 所以平面ABC⊥平面SBC. 证明两个平面垂直的方法 (1)利用定义:证明二面角的平面角是直角. (2)利用平面与平面垂直的判定定理:证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直. [针对训练] 如图,四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形,PB=PD. 求证:平面PBD⊥平面PAC. 证明:如图,设AC∩BD=O,连接OP,因为ABCD为正方形,所以AC⊥BD且O为BD的中点. 又PB=PD, 所以OP⊥BD.又AC∩OP=O,AC,OP 平面PAC,所以BD⊥平面PAC. 又BD 平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC. 探究点二　线线、线面、面面垂直的综合应用 [例2] 如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,过A,D,N三点的平面交PC于点M,E为AD的中点. 求证:(1)EN∥平面PDC; (2)BC⊥平面PBE; (3)平面PBC⊥平面ADMN. 证明:(1)因为AD∥BC,BC 平面PBC,AD 平面PBC, 所以AD∥平面PBC. 又因为平面ADMN∩平面PBC=MN, 所以AD∥MN. 又因为BC∥AD,所以MN∥BC. 又因为N是PB的中点, 所以点M为PC的中点, 所以MN=BC. 又因为E为AD的中点, 所以MN∥DE且MN=DE, 所以四边形DENM为平行四边形, 所以EN∥DM. 又DM 平面PDC,EN 平面PDC, 所以EN∥平面PDC. (2)因为四边形ABCD是菱形,E为AD的中点, 且∠BAD=60°,所以BE⊥AD. 又因为侧面PAD是正三角形,且E为AD的中点, 所以PE⊥AD.又因为PE 平面PBE,BE 平面PBE,PE∩BE=E, 所以AD⊥平面PBE. 又因为AD∥BC,所以BC⊥平面PBE. (3)由(2)知AD⊥平面PBE, 又PB 平面PBE, 所以AD⊥PB. 又因为PA=AB,N为PB的中点, 所以AN⊥PB. 且AN∩AD=A,AN 平面ADMN,AD 平面ADMN,所以PB⊥平面ADMN. 又因为PB 平面PBC. 所以平面PBC⊥平面ADMN. 线线、线面、面面垂直的综合问题的解题策略 (1)重视转化. 涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直转化为证线面垂直;证线面垂直转化为证线线垂直. (2)充分挖掘线面垂直关系. 解答线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因 ... ...