6.5.2 第1课时 平面与平面垂直的性质 学案 (原卷版+解析版)

5.2　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的性质 学习目标 1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角的平面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的性质定理,初步学会用定理证明垂直关系,提升直观想象、逻辑推理的数学素养. 知识探究 知识点1　二面角及其平面角 (1)二面角. ①概念:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面. ②图示. ③记法:αABβ或αlβ. (2)二面角的平面角. ①概念:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线的夹角称为二面角的平面角. ②图示. ③规定:二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角称为直二面角.二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. [思考1] 二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关吗 请简要说明. 提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关. 知识点2　平面与平面垂直 (1)定义. 平面与平面垂直 定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作α⊥β 画法 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,如图. (2)平面与平面垂直的性质定理. 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直 线面垂直; ②作面的垂线 [思考2] 若两个平面相交但是不垂直,则一个平面内的直线能与另一个平面内的直线垂直吗 提示:能. [思考3] 两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗 提示:不一定,只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面. [做一做] 如图,在三棱锥PABC中,平面PAC⊥平面ABC,且 ∠PAC= 90°,PA=1,AB=2,则PB=　　　　. 探究点一　二面角的求法 角度1　利用定义求二面角 [例1] 如图,在四面体PABC中,△ABC与△PBC是边长为2的正三角形,PA=3,D为PA的中点,求二面角DBCA的大小. 定义法求二面角的平面角 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线的夹角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等,常用此法. [针对训练] 如图,在正四面体VABC中,求二面角V BCA的余弦值. 角度2　垂面法求二面角 [例2] 在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,∠ABC=30°,求二面角PBCA的正切值. 求二面角大小的步骤. [针对训练]如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD, AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小. 探究点二　平面与平面垂直的性质 [例3] 如图,已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC. (1)若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于这两个平面的交线. (2)先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. [针对训练] 如图所示,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:BC⊥SD. 当堂检测 1.平面 ... ...