6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 学案 (原卷版+解析版)

§6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 学习目标 1.了解柱、锥、台的侧面展开图及其内在联系,发展直观想象的核心素养. 2.利用柱、锥、台的有关面积公式求侧面积与表面积,提升数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与面积 几何体 侧面展开图 侧面积 表面积公式 圆柱 S圆柱侧=2πrl,r为底面半径,l为母线长 S圆柱=2πr(r+l),r为底面半径,l为母线长 圆锥 S圆锥侧=πrl,r为底面半径,l为母线长 S圆锥=πr(r+l),r为底面半径,l为母线长 圆台 S圆台侧=π(r1+r2)l,r1为上底面半径,r2为下底面半径,l为母线长 S圆台=π(++r1l+r2l),r1为上底面半径,r2为下底面半径,l为母线长 知识点2　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开与面积 几何体 侧面展开图 侧面积 表面积公式 直棱柱 S直棱柱侧=ch,c为底面周长,h为棱柱的高 S表=S侧+S底 正棱锥 S正棱锥侧=ch′,c为底面周长,h′为棱锥的斜高 S表=S侧+S底 正棱台 S正棱台侧=(c1+c2)h′,c1,c2分别为上、下底面周长,h′为棱台的斜高 S表=S侧+S上+S下 (1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图:棱柱的侧面展开图是由多个平行四边形组成的平面图形,棱锥的侧面展开图是由多个三角形组成的平面图形,棱台的侧面展开图是由多个梯形组成的平面图形. (2)关于棱锥侧面积的一个重要结论:在棱锥与该棱锥被平行于底面的平面所截得的小棱锥中,有如下比例关系:===对应线段(高、侧棱长、底面边长等)的平方比. (3)斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积. 探究点一　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与面积 [例1] (1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的侧面积与表面积之比为(　　) A.2π∶(1+2π) B.π∶(1+π) C.2π∶(1+π) D.π∶(1+2π) (2)某圆锥的侧面积为8π,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的底面半径长为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 (3)某圆台的侧面积是上、下两底面积之差绝对值的2倍,则其母线与底面的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 求旋转体侧面积及表面积的要点 (1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键. (2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法. (3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程. [针对训练] (1)已知圆柱的底面直径和高均为2,则该圆柱的表面积为(　　) A.4π B.6π C.8π D.16π (2)已知圆锥的侧面积是底面积的倍,则母线与底面所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° (3)已知圆台的上、下底面中心分别为O1,O2,过直线O1O2的截面是上、下底边边长分别为2和4,且高为的等腰梯形,则该圆台的侧面积为(　　) A.3π B.3π C.6π D.6π 探究点二　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面 展开与面积 [例2] (1)已知长方体所有棱的长度之和为28,一条对角线的长度为,则该长方体的表面积为(　　) A.32 B.20 C.16 D.12 (2)(多选题)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,若 θ=30°,侧棱长为,则(　　) A.正四棱锥的底面边长为6 B.正四棱锥的底面边长为3 C.正四棱锥的侧面积为24 D.正四棱锥的侧面积为12 (3)已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,则其表面积为(　　) A.3 B.12+20 C.12+20 D.48 求棱柱、棱锥和棱台的表面积与侧面积,要明确各面的形状,正确利用平面图形的面积公式,有关的量经常归纳到直角三角形中以利用勾股定理,未知量较多时需要列出有关的方程或方程组. [针对训练] (1)六棱柱的底面是边长为2的正六边形,侧面是矩形,侧棱长为4,则其表面积等于(　　) A.12+12 B.48+12 C.64+6 D.72+6 (2)正四棱台的上、下底面边长分别是方程x2-9x+18=0的两根,其侧面积等于两底面面积之和,则其 ... ...