第四章 三角恒等变换 章末总结 学案 (原卷版+解析版)

章末总结 网络建构 知识辨析 判断对错(正确的打“√”,错误的打“×”). 1.对任意角α,=tan 2α都成立.(　×　) 2.sin α= .(　×　) 3.存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.(　√　) 4.对任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立.(　×　) 5.二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　×　) 6.tan α=.(　×　) 7.在公式asin x+bcos x=sin(x+)(a,b不同时为0)中,角所在象限由a,b的符号确定.(　√　) 8.对任意三角形ABC,tan A+tan B+tan C=tan A·tan Btan C均成立.(　×　) 题型一　给值(角)求值问题 [例1] (1)设sin 20°=m,cos 20°=n,则-等于(　　) A. B.- C. D.- (2)已知=7,则cos(α-)等于(　　) A.- B. C. D. (3)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)等于(　　) A.-3m B.- C. D.3m 解析:(1)因为sin 20°=m,cos 20°=n, 所以- =- =-=- =-==. 故选A. (2)因为cos(2α+)=1-2sin2(α+), 所以==7, 化简得[4sin(α+)-1][sin(α+)+2]=0, 因为sin(α+)∈[-1,1], 所以sin(α+)=, 所以cos(α-)=cos[(α+)-]=sin(α+)=.故选B. (3)因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin α·sin β=m, 而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β, 故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m, 从而sin αsin β=-2m, 故cos(α-β)=-3m. 故选A. “给角求值”“给值求值”问题求解的关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系,借助角之间的联系寻找转化方法. 题型二　三角函数的给值求角 [例2] 若sin α=,sin β=,且α,β均为锐角,求α+β的值. 解:因为α为锐角,所以cos α==. 又β为锐角,所以cos β==, 且cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, 由于0°<α<90°,0°<β<90°, 所以0°<α+β<180°, 故α+β=45°. 本题中由于已知角α,β的正弦值,且α,β均为锐角,因此在求α+β时,应选择角α+β的余弦而不能选择正弦,这是因为若求α+β的正弦,则得到sin(α+β)=,0°<α+β<180°,而得到α+β=45°或135°是正确的,但题设中sin α=<,sin β=<,使得0°<α<30°,0°<β<30°,从而0°<α+β<60°,故上述结论是错误的.因此在给值求角的问题中,角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除.要避免上述情况的发生,解题时应合理选择三角函数形式进行求解,根据计算结果,估算出角的较精确的取值范围,并不断缩小角的范围. 题型三　三角函数的化简 [例3] 化简:. 解:法一　原式= = ===1. 法二　原式= = = = ==1. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,一般化异角为同角通过看角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,一般化异名为同名从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等. 题型四　三角恒等变换与三角函数的 综合问题 [例4] 已知函数f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)-2cos2(ωx+)+1 (ω>0),且满足　　　　. ①f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点之间的距离等于π;②f(x)的两个相邻对称中心之间的距离为.从这两个条件中选择一个,补充在上面问题的横线中并作答. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数m的取值范围. 解:(1)f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)-2cos2(ωx+)+1 =sin(2ωx-)-cos(2ωx+)=sin(2ωx-)-cos(2ωx-+) =sin(2ωx-)+sin(2ωx-)=2sin(2ωx-). 若选择条件①:f(x)的图象与直线y=-2的两个相邻交点之间的距离等于π,函数f(x)的最小值为-2,则函数f(x)的最小正周期为T=π, 即=π,所以ω=1.所以f(x)=2sin(2x-). 若选择条件②:f(x)的两个相邻对称中心之间的距离为,则函数f(x ... ...