§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学习目标 1.掌握单位圆中的正弦函数、余弦函数的定义,提高数学抽象的核心素养. 2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,提高数学抽象的核心素养. 知识探究 知识点1 锐角的正弦函数和余弦函数 在平面直角坐标系中,把锐角α的顶点放在坐标原点,角的始边放在x轴的非负半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v)(如图),则v=sin α,u=cos α. [思考1] 单位圆上任意一点P(u,v)的坐标满足u2+v2=1,从这个事实出发,你能得到什么结论 提示:sin2α+cos2α=1. [思考2] 怎样理解单位圆 提示:在平面直角坐标系中,以坐标原点为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆. 知识点2 任意角的正弦函数和余弦函数 (1)单位圆中正弦函数、余弦函数的定义. 在平面直角坐标系中,把任意角α的顶点放在坐标原点、始边放在x轴的非负半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v),则把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值,记作v=sin α;把点P的横坐标u叫作角α的余弦值,记作u=cos α(如图). (2)角α的正弦函数、余弦函数的定义. 设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α=,cos α=,其中r=. [思考3] 根据三角函数的定义,角α的正弦与余弦与点的选取有关系吗 提示:没有. 知识点3 特殊角的正弦函数值、余弦函数值 α 0 y=sin α 0 1 y=cos α 1 0 - - α π 2π y=sin α 0 - - -1 - - 0 y=cos α -1 - - 0 1 注意:该表格解答了教材第16页[思考交流],上述特殊角对应的正弦、余弦函数值在解题中经常遇到,牢记它们解题可事半功倍. 探究点一 单位圆与三角函数的定义 [例1] 在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(,),则sin α等于( ) A. B. C. D. 解析:因为终边经过点P(,),且()2+()2=1, 所以sin α=.故选B. [针对训练] 在平面直角坐标系中,已知sin α=-,cos α=,那么角α的终边与单位圆的交点坐标为( ) A.(,-) B.(-,) C.(-,) D.(,-) 解析:因为sin α=-,cos α=,所以角α的终边与单位圆的交点坐标为(,-).故选A. 探究点二 任意角的正弦函数和余弦函数 角度1 利用任意角的正弦函数和余弦函数定义求值 [例2] 已知角α的终边经过点P(m,-6),且cos α=-,则m等于( ) A.-8 B.±8 C.±4 D.4 解析:由题意,可得r=|OP|==, 根据三角函数的定义,可得cos α==-,且m<0,解得m=-8.故选A. [针对训练] 若角α的终边经过点P(a,-a)(a>0),则sin α等于( ) A.- B.- C. D. 解析:由题意可知,x=a,y=-a,r=|OP|=2a(O为坐标原点),所以sin α==-.故选B.(三角函数值只与角α的终边所在的位置有关,与点P在终边上的位置无关) 角度2 三角函数定义的应用 [例3] 若角750°的终边上有一点P(a,3),则a的值是( ) A. B.3 C.- D.-3 解析:因为750°=2×360°+30°, 所以750°与30°的终边相同, 从而cos 750°==cos 30°=,且a>0,解得a=3.故选B. 利用正弦函数、余弦函数的定义,求一个角的正弦值、余弦值,需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意,当点的坐标含有参数时,应分类讨论. [针对训练] 已知角α的顶点与原点重合,始边与 x轴非负半轴重合,终边在直线x-y=0上,则角α的余弦值为 . 解析:因为角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线x-y=0上, 所以角α的终边在第一象限或第三象限. 当角α的终边在第一象限时,可取角α的终边上点(1,), 所以cos α==; 当角α的终边在第三象限时,可取角α的终边上点(-1,-), 所以cos α==-.综上,角α的余弦值为±. 答案:± 当堂检测 1.在平面直角坐标系xOy中,角α以x轴的非负半轴为始边,点P(-,1)在角α的终边上,则cos α等于( C ) A.- B.- C.- D.- 解析:由余 ... ...
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