4.2 平面向量及运算的坐标表示 学习目标 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示,发展数学抽象的核心素养. 2.掌握向量和、差、数乘以及向量平行的坐标表示,培养数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1 平面向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x,y,使=xi+yj.因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y). [思考1] 向量终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗 请简要说明. 提示:向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同,当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同. [思考2] 向量可以根据需要进行平移,则平移后的向量坐标变化吗 变化的是什么 提示:当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.变化的是向量的起点坐标与终点坐标. 知识点2 平面向量运算的坐标表示 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),平面向量的坐标运算法则如表所示. 运算 自然语言 坐标表示 加法 两个向量a,b的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 a+b=(x1+x2,y1+y2) 减法 两个向量a,b的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 a-b=(x1-x2,y1-y2) 数乘 实数λ与向量a数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 λa=(λx1,λy1),λ∈R (2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1). (3)中点坐标公式:若点A(x1,y1),点B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则此公式为线段AB的中点坐标公式. 知识点3 平面向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a,b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. [思考3] 若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a∥b时一定有=成立吗 提示:不一定.当b1,b2均不为0时,=成立. [做一做] 已知非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,则实数m的值为( ) A.-1或 B.1或- C.-1 D. 向量的坐标与点的坐标的区别 (x,y)在平面直角坐标系中有双重含义,既可以表示一个点,也可以表示一个向量.为了区分,我们通常说点A(x,y),向量a=(x,y). 向量坐标前带“=”,而点的坐标前不带. 探究点一 平面向量的坐标表示 [例1] 已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,,的坐标. 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对于坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标. (2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的起点、终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标. [针对训练] 设点A(1,2),B(3,5),将向量平移后得到的的坐标为( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,7) 探究点二 平面向量线性运算的坐标表示 [例2] 已知A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),若线段BC的中点为M,求,+,-的坐标. 平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的坐标运算可类比数的运算进行. [针对训练] 已知a=(-1,2),b=(2,1),求: (1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b. 探究点三 平面向量坐标运算的应用 [例3] 已知点A(2,3),B(5,4),=(5λ,7λ)(λ∈R).若=+,试求λ为何值时: (1)点P在第一、第三象限的角平分线上; (2)点P在第三象限内. [变式探究] 本例条件不变,若点P在第二、第四象限的角平分线上呢 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件:相等向量的对应坐标相等. (2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可以求出某些参数的值或点的坐标 ... ...
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