§5 从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积 学习目标 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义,提高数学抽象的核心素养. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系,增强直观想象的核心素养. 3.掌握向量数量积的运算律及其应用,提升数学抽象与数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1 向量的数量积的定义 (1)非零向量a与b的夹角记为
或θ(0°≤θ≤180°),|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos=|a||b|cos θ. (2)规定:零向量与任一向量的数量积为0. [做一做1] 已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于( B ) A.3 B.-3 C.-3 D.3 解析:由数量积的定义, 得a·b=|a||b|cos 120°=×2×(-)=-3.故选B. 知识点2 投影向量和投影数量 (1)投影向量. 如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A向直线OB作垂线,垂足为A′,得到向量γ=,γ称为a在b上的投影向量. (2)投影向量的数量. |a|cos称为投影向量γ的数量,也称为向量a在向量b方向上的投影数量,可以表示为a·. [思考] 两个向量的数量积a·b的几何意义是什么 提示:设a,b的夹角为θ,则a·b的几何意义是b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积;或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积. [做一做2] 已知|a|=3,向量a与b的夹角θ为,则a在b方向上的投影数量为 . 解析:向量a在b方向上的投影数量为|a|cos θ=3×cos=. 答案: 知识点3 数量积的运算性质 (1)数量积的运算律.(对任意的向量a,b,c和实数λ) ①交换律:a·b=b·a. ②与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb). ③关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. (2)数量积的性质. ①若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos. ②若a,b是非零向量,则a·b=0 a⊥b. ③a·a=|a|2,即|a|=. ④cos=(|a||b|≠0). ⑤|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立. [做一做3] 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 . 解析:|a-b|====, 设向量a与a-b的夹角为θ, 则cos θ===. 又θ∈[0,π],所以θ=. 答案: 探究点一 向量数量积的计算 [例1] 已知|a|=5,|b|=4,当a与b满足下列条件时,分别求a·b. (1)a与b的夹角为. (2)a⊥b. (3)a与b的夹角为. (4)a∥b. 解:(1)a·b=|a||b|cos=5×4×(-)=-10. (2)a·b=|a||b|cos=0. (3)a·b=|a||b|cos=5×4×=10. (4)因为a∥b,所以当a,b同向时, a·b=|a||b|cos=5×4×1=20; 当a,b反向时,a·b=|a||b|cos=5×4×(-1)=-20. 求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. [针对训练] (多选题)已知向量a,b,c,下列选项中正确的有( ) A.|a|2=a2 B.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 C.a·(b+c)=a·b+a·c D.|a·b|≤|a||b| 解析:选项A中,a2=a·a=|a|·|a|·cos 0=|a|2,A正确;选项B中,左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边,所以B正确;选项C中,a·(b+c)=a·b+a·c满足分配律,C正确;选项D中,|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|(其中θ为向量a与b的夹角),D正确.故选ABCD. 探究点二 投影向量和投影数量 [例2] (1)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,(a+b)·(2a-3b)=12,则向量b在向量a上的投影向量为( ) A.a B.2b C.a D.2b (2)已知a·b=16,若a在b方向上的投影数量为4,则|b|= . 解析:(1)a·b=|a|·|b|cos 45°=4|b|cos 45°=2|b|,又(a+b)·(2a-3b)=|a|2+a·b-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12,解得|b|=或|b|=-(舍去).则向量b在向量a上的投影向量为 |b|cos 45°=1×=a.故选A. (2)设a与b的夹角为θ,因为a·b=16, 所以|a||b|cos θ=16. 又因为a在b方向上的投影数量 ... ... 