2.5 第2课时 从力的做功到向量的数量积 学案 (原卷版+解析版)

5.2　向量数量积的坐标表示 5.3　利用数量积计算长度与角度 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算,培养数学运算的核心素养. 2.能够用向量的坐标表示及向量数量积的运算律求向量的夹角与长度,提高数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1　向量数量积的坐标表示 如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: 数量积 a·b=x1x2+y1y2 向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0 [思考1] 已知向量a=(x,y),则与a垂直的向量的坐标是什么 提示:由向量垂直的关系式可得b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,因此λ(-y,x)=(-λy,λx)(λ∈R)是与a=(x,y)垂直的向量的坐标. [做一做1] 已知a=(-1,3),b=(2,4),则a·b的值是　　　　. 解析:a·b=(-1)×2+3×4=10. 答案:10 知识点2　向量模的坐标表示 向量的模 设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或 |a|= 两点间的 距离公式 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 ||= [思考2] 已知向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是什么 提示:设与a共线的单位向量为a0,则a0=±a=±(,)= ±(,)(x2+y2≠0),其中正号、负号分别表示与a同向和反向. [做一做2] 已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,则x=　　　　. 解析:由|a|=|b|得=, 解得x=±2. 答案:±2 知识点3　向量坐标表示的夹角公式 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==(|a||b|≠0). 知识点4　点到直线的距离公式 已知直线AB的方向向量m以及直线上一点A的坐标和直线外一点P的坐标,那么点P到直线AB的距离d为线段AP在直线的垂线方向上的投影数量.设直线AB的垂线方向向量为n,则d=|·|. [做一做3] 已知点A(0,1),直线AB的方向向量为m=(2,-1),则点P(1,3)到直线AB的距离为　　　　. 解析:设直线AB的垂线方向向量为n,则n⊥m.设n=(x,y),则n·m=(x,y)·(2,-1)=0, 即2x-y=0,令x=1,得y=2,n=(1,2).由于A(0,1),P(1,3), 于是=(1,3)-(0,1)=(1,2),点P到直线AB的距离d=|·|=||==. 答案: 探究点一　向量数量积的坐标表示 [例1] (1)已知a=(1,-1),b=(2,4),则a·(a+b)等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)已知向量a=(2,),b=(-1,),则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为(　　) A.(-,) B.(,-) C.(,-) D.(-,) 解析:(1)a·(a+b)=(1,-1)·(3,3)=3-3=0.故选B. (2)因为向量a=(2,),b=(-1,),所以向量a在向量b方向上的投影数量为==, 所以向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为 ·=b=(-,). 故选A. 根据向量的坐标求向量数量积的方法 (1)一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解. [针对训练] 已知a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),若(8a-b)·c=30,则x等于(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:由题意可得,8a-b=(6,3),又(8a-b)·c=30,c=(3,x),所以18+3x=30,解得x=4.故选C. 探究点二　向量垂直的坐标表示 [例2] (1)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=2”是“a⊥b”的　(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知向量a=(-1,2),b=(2,-4),若向量a+λb与a+b垂直,则λ的值为　　　　. 解析:(1)当m=2时,a=(1,1),b=(2,-2), 所以a·b=(1,1)·(2,-2)=2-2=0, 所以a⊥b,充分性成立; 当a⊥b时,a·b=(m-1,1)·(m,-2)=m(m-1)-2=0,解得m=2或m=-1,必要性不成立. 所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A. (2)因为a=(-1,2),b=(2,-4), 所以a+λb=(-1,2)+λ(2,-4)=(-1+2λ,2-4λ),a+b=(-1,2)+(2,-4)=(1,-2). 因为向量a+λb与a+b垂直,所以(a+λb)·(a+b)=(-1+2λ)×1-2(2-4λ)=10λ-5=0,解得λ=. 答案:(1)A　(2) 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示如下: a∥b x1y2=x2y ... ...