2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 学案 (原卷版+解析版)

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 学习目标 1.了解向量方法在解决简单的几何问题、力学问题等实际问题中的应用,提升数学运算和直观想象的核心素养. 2.通过运用向量知识解决实际问题和物理问题的过程,培养数学建模、数学运算的核心素养. 探究点一　向量在几何证明中的应用 [例1] 已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明: (1)DE∥BC; (2)D,M,B三点共线. 证明:法一　由已知得四边形AECD为正方形,设=a,=b. (1)因为=-=a-b,=-=a-b,所以=, 所以∥,即DE∥BC. (2)连接DM,MB(图略), =+=a-b, =+=-b+a,所以=, 又与有公共点M, 所以D,M,B三点共线. 法二　如图, 以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系(在建立平面直角坐标系时,要尽可能使更多的点落在坐标轴上,使更多的线与x轴、y轴平行或重合),连接MB,MD. 令||=1,则||=1,||=2. 因为CE⊥AB,且AD=DC, 所以四边形AECD为正方形. 所以可求得各点的坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1). (1)因为=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1), 所以=,所以∥,即DE∥BC. (2)因为M为EC的中点,所以M(0,), 所以=(-1,1)-(0,)=(-1,),=(1,0)-(0,)=(1,-). 所以=-,所以∥. 又与有公共点M,所以D,M,B三点共线. 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法:选取适当的一组基(基中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基向量表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. [针对训练] 如图所示,若D是△ABC内一点,且-=-.利用向量法证明:AD⊥BC. 证明:由题可知-=-, 则(-)·(+)=(-)·(+), 即(+)·=(+)·,整理得·(+++)=0,所以·2=0,即⊥,从而AD⊥BC. 探究点二　向量在物理中的应用举例 角度1　向量的线性运算在物理中的应用 [例2] 如图,已知一条河的两岸平行,河的宽度为d,某人从河的北岸出发到河对岸,河水自西向东流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2. (1)如果要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和 v2的大小. (2)如果要使此人游的时间最短,且|v2|=2 m/s,求他实际前进的方向与水流方向的夹角β和v1的大小. 解:(1)如果要使此人游的路程最短, 只需此人的游泳速度和水流速度的和速度与对岸垂直,如图(a)所示, 此人游泳的方向与水流方向的夹角α=∠ACB, 此时|v2|==1 m/s,α=∠ACB=. (2)如图(b)所示,设v0与v1的夹角为θ,实际游泳的距离为s, 所以=, sin β=, 所以==, 故当v0与v1的夹角为θ=时,此人游到对岸用时最短. 如图(c),|v2|=2 m/s, 由于|v0|=1 m/s, 故|v1|== m/s, 此时tan β=, 所以β=. 向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量几何化,借助向量求和的平行四边形法则求解. (2)用向量方法解决物理问题的步骤: ①把物理问题中的相关量用向量表示; ②转化为向量问题的模型,通过向量运算解决问题; ③结果还原为物理问题. [针对训练] 在风速大小为75(-)km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向. 解:设ω为风速大小为75(-) km/h的西风,va为有风时飞机的航行速度,vb为无风时飞机的航行速度,如图所示,因为vb=va-ω, 所以vb,va,ω对应线段构成三角形. 设||=|va|,||=|ω|,||=|vb|, 作AD∥BC,CD⊥AD于点D, BE⊥AD于点E, 则∠BAD=45°. 由题意知||=150,||=75(-), 所以||=||=||=75, ||=75. 从而||=150, ∠CAD=30°. 所以|vb|=150 km/h, 方向为西偏北30°. 角度2　向量的数量积在物理中的应用 [例3] 已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),求F1,F2分别对质 ... ...