4.2.1+4.2.2 两角和与差的三角函数公式 学案 (原卷版+解析版)

§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 学习目标 1.通过两角差的余弦公式的推导过程,发展数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.通过两角和与差的正弦、余弦及正切的公式的应用,培养逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.掌握利用两角和与差的三角函数公式求值、化简及证明,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 情境导入 某城市的电视发射塔CD建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离约为60 m,从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°,求这座电视发射塔的高度. 设电视发射塔的高度CD=x,则AB=ACcos 15°=60cos 15°,BC= ACsin 15°=60sin 15°,BD=ABtan 60°=60cos 15°tan 60°= 60cos 15°,所以x=BD-BC=60cos 15°-60sin 15°,如果能求出cos 15°,sin 15° 的值,就可求出电视发射塔的高度了. 探究:已知30°=60°-30°,那么cos 30°=cos 60°-cos 30°成立吗 类似的,15°=45°-30°,那么cos 15°=cos 45°-cos 30°成立吗 α,β∈R,则cos(α-β)=cos α-cos β成立吗 提示:cos 30°≠cos 60°-cos 30°;cos 15°≠cos 45°-cos 30°; α,β∈R,cos(α-β)=cos α-cos β不一定成立. 知识探究 问题:如图所示,设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β,它们的终边分别与单位圆相交于点P1,A1,P. 点P1,A1,P的坐标如何表示 与有什么关系 提示:P1(cos α,sin α),A1(cos β,sin β),P(cos(α-β), sin(α-β)),||=||. 知识点1　两角和与差的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.(Cα+β) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.(Cα-β) (1)公式中α,β可以是任意角,也可以是角的组合. (2)当α,β中含有(k∈Z)形式时,可以直接使用诱导公式求解. (3)公式的特点:公式左边是差(和)角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和(差)式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式. [做一做1] cos 55°cos 5°-sin 55°sin 5°=　 . 知识点2　两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.(Sα+β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.(Sα-β) [思考] 公式sin(α+β)=sin α+sin β能成立吗 提示:当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin(α+β)=sin α+sin β成立. [做一做2] 已知α是锐角,sin α=,则sin(+α)=　　　　. 知识点3　两角和与差的正切公式 tan(α+β)=.(Tα+β) tan(α-β)=.(Tα-β) 两角和与差的正切公式的变形 在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用: tan(α+β)(1-tan αtan β)= tan α+tan β; tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β); tan αtan β=1-; tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β); tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β); tan αtan β=-1. [做一做3] (1)已知tan α=2,则tan(α+)=　 . (2)=　　　　. 探究点一　利用两角和与差的公式给角求值 角度1　直接逆用或正用公式求值 [例1] 求值:cos(x+20°)cos(x-40°)+cos(x-70°)sin(x-40°). 涉及正弦、余弦的积的和与差问题时,应考虑转化为逆用两角和与差的正弦、余弦公式. 在逆用公式时,要紧紧抓住公式的特点,必要时使用诱导公式的变形,使之符合公式的特征,有时还可以把三角函数式的系数作为特殊值转化为特殊角. [针对训练] (1)sin 75°cos 30°-sin 15°sin 150°的值为(　　) A.1 B. C. D. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)= 2cos(α+)sin β,则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 角度2　利用和差公式及角的变形给值求值 [例2] 已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α ... ...