4.2.3+4.2.4 两角和与差的三角函数公式 学案 (原卷版+解析版)

2.3　三角函数的叠加及其应用 2.4　积化和差与和差化积公式 学习目标 1.掌握辅助角公式的原理及应用,提升数学抽象、逻辑推理以及数学运算的核心素养. 2.了解三角函数的积化和差、和差化积公式的简单应用,增强逻辑推理与数学运算的核心素养. 知识探究 问题1:由sin(30°+α)=cos α+sin α,cos α+sin α=sin(30°+α),你能概括出形如asin α+bcos α的三角函数式化为一个角的三角函数式的方法吗 知识点1　辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+)(a,b不同时为0).其中角所在象限由a,b的符号确定,角的值由sin 和cos 的值确定,也就是由tan =来确定. [做一做1] 函数y=3sin x+4cos x的最大值为(　C　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由辅助角公式得y=3sin x+4cos x=·sin(x+) =5sin(x+),其中tan =,所以最大值为5.故选C. 问题2:根据已经学习过的公式: cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;① cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;② sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;③ sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.④ 在上述公式的右端含有cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β, cos αsin β,从方程的观点出发,你能否把它们解出来 知识点2　三角函数的积化和差公式 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]; sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. 问题3:如何把sin 60°+sin 30°化为两个三角函数乘积的形式 你能根据积化和差公式,得出把两个三角函数和差的形式化为两个三角函数乘积形式的公式吗 知识点3　三角函数的和差化积公式 sin x+sin y=2sin cos ; sin x-sin y=2cos sin ; cos x+cos y=2cos cos ; cos x-cos y=-2sin sin . [做一做2] sin 105°+sin 15°等于(　C　) A. B. C. D. 解析:sin 105°+sin 15° =2sincos =2sin 60°cos 45° =2×× =.故选C. 常见的特殊角的式子化简 sin x+cos x=sin(x+); sin x-cos x=sin(x-); sin x+cos x=2sin(x+); sin x-cos x=2sin(x-); sin x+cos x=2sin(x+); sin x-cos x=2sin(x-). 探究点一　辅助角公式的应用 [例1] (多选题)已知函数f(x)=2sin ωx+cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则(　　) A.ω=2 B.f(x)的最大值为3 C.f(x)在区间(-,)上单调递增 D.将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于y轴对称 解析:f(x)=2sin ωx+cos(ωx+) =2sin ωx+cos ωx-sin ωx =cos ωx+sin ωx =(cos ωx+sin ωx) =sin(ωx+). 因为y=f(x)的最小正周期为π,所以=π, 又ω>0,所以ω=2,故A正确; 所以f(x)=sin(2x+),其最大值为,故B错误; 当x∈(-,)时,2x+∈(-,), 由正弦曲线,有y=sin x在(-,)上单调递增, 所以f(x)=sin(2x+)在(-,)上单调递增,故C正确; 将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数为y=sin[2(x+)+]=sin(2x+)=cos 2x, 其图象关于y轴对称,故D正确.故选ACD. 公式asin x+bcos x=sin(x+)[或asin x+bcos x= cos(x-)],将形如asin x+bcos x(a,b不同时为0)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式,这样做有利于三角函数的化简,更是研究三角函数性质的常用工具. 化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角x的系数为正,这样更有利于研究函数的性质(包括函数的周期性、单调性、最值、定义域等). [针对训练] 若0<θ≤,则sin θ+cos θ的取值范围是　　　　. 解析:sin θ+cos θ=2(sin θ+cos θ) =2(cossin θ+sincos θ)=2sin(θ+). 因为0<θ≤,所以<θ+≤, 所以≤sin(θ+)≤1, 即≤2sin(θ+)≤2, 则当0<θ≤时,sin θ+cos θ的取值范围为[,2]. 答案:[,2] 探究点二　三角函数的积化和差公式 [例2] 利用积化和差公式,求下列各式的值. (1)cos 15°cos 75°; (2)sin 20°sin 40°sin 80°. 解:(1)由积化和差公 ... ...