4.3 二倍角的三角函数公式 学案 (原卷版+解析版)

§3　二倍角的三角函数公式 3.1　二倍角公式 3.2　半角公式 学习目标 1.通过两角和的公式推导二倍角公式的学习以及二倍角公式的应用,提高逻辑推理与数学运算的核心素养. 2.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想,提高数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1　二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α.(S2α) cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(C2α) tan 2α=.(T2α) [思考1] 存在角α,使得sin 2α=2sin α成立吗 提示:存在,当α=kπ(k∈Z)时,公式sin 2α=2sin α成立. [思考2] 公式tan 2α=成立的条件是什么 提示:当α≠kπ+,2α≠kπ+(k∈Z)时,公式tan 2α=成立. [做一做1] 已知tan θ=,则cos 2θ等于(　D　) A. B. C. D. 解析:由题意可得cos 2θ=cos2θ-sin2θ====.故选D. 知识点2　半角公式 sin =±; cos =±; tan =±==. [思考3] 已知角α的象限,则所在的象限以及三角函数值的符号分别是什么 提示: α sin cos tan 第一象限 第一、第三象限 +,- +,- + 第二象限 第一、第三象限 +,- +,- + 第三象限 第二、第四象限 +,- -,+ - 第四象限 第二、第四象限 +,- -,+ - [做一做2] 若cos α=,且α∈(0,π),则cos 的值为(　A　) A. B.- C.± D.± 解析:因为α∈(0,π),所以∈(0,), 所以cos ===.故选A. (1)关于二倍角公式的理解. ①二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想. ②对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义,即α≠kπ+且α≠kπ-且α≠kπ+(k∈Z). 当α=kπ+及α=kπ-(k∈Z)时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+ (k∈Z)时,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α. (2)关于二倍角公式的逆用及变换. ①逆用: 2sin αcos α=sin 2α; sin αcos α=sin 2α; cos α=; cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos 2α; =tan 2α. ②因式分解变换: cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α). ③配方变换: 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2. ④升幂缩角变换: 1+cos α=2cos2, 1-cos α=2sin2. 探究点一　利用二倍角公式求值 角度1　给角求值 [例1] 求下列各式的值: (1)-cos2; (2)2tan 15°+tan215°; (3)tan 15°+. 解:(1)原式=-(cos+1)=--=-. (2)原式=tan 30°(1-tan215°)+tan215° =×(1-tan215°)+tan215° =1. (3)原式=+=====4. 给角求值问题的解法 (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. (3)对于一些弦、切混合型的给角求值问题,一般将其统一成弦的形式,再利用二倍角公式,和、差角公式等进行求解. [针对训练] 计算:(1)sincos; (2)cos2-cos2; (3). 解:(1)原式===. (2)原式=cos2-sin2=cos(2×)=cos=. (3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-. 角度2　给值求值 [例2] 已知cos(α+)=,≤α<,求cos 2α与sin 2α的值. 解:因为≤α<,所以≤α+<. 因为cos(α+)>0,所以<α+<, 所以sin(α+)=-=-=-, 所以cos 2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2×(-)×=-, sin 2α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=1-2×()2=. [变式探究] (1)将本例中的条件改为“cos(α-)=”,求sin 2α 的值. (2)将本例中的条件改为“cos α-sin α=”,求sin 2α的值. 解:(1)sin 2α=cos(-2α)=cos(2α-)=2cos2(α-)-1 =2×()2-1=-. (2)法一　由cos α-sin ... ...