5.2.1 复数的加法与减法 学案 (原卷版+解析版)

§2　复数的四则运算 2.1　复数的加法与减法 学习目标 1.掌握复数的加减法运算法则,能熟练地进行复数的加减运算,提升数学运算的核心素养. 2.理解复数加减法运算的几何意义,能解决相关的问题,提升直观想象与数学运算的核心素养. 知识探究 问题1:我们知道,数系的每一次扩充之后,原有的数学运算法则仍然是成立的,那么将实数扩充到复数后,原有的实数的加减法运算法则还成立吗 提示:成立. 知识点1　复数的加法与减法 (1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. (2)加法运算律. 对于任意z1,z2,z3∈C,有: 结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 交换律 z1+z2=z2+z1 [思考1] 复数的加减法运算法则可以推广到多个复数的加减法运算中吗 提示:可以. [做一做] 已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于(　B　) A.8i B.6 C.6+8i D.6-8i 解析:根据复数的加法法则得z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.故选B. 问题2:已知向量=(a,b),=(c,d),求+,-. 提示:(a+c,b+d),(a-c,b-d). 知识点2　复数加减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义. 如图,设复数z1,z2分别与向量,对应,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是. (2)复数减法的几何意义. 如图,设向量,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应,且,不共线,则这两个复数的差z1-z2与向量-(即)对应. [思考2] 已知复数z1=a+bi(a,b∈R)和z2=c+di(c,d∈R)在复平面内的对应点分别是Z1,Z2,则线段Z1Z2的中点对应的复数是什么 提示:+i. [思考3] 你能利用复数的几何意义与复数的减法运算法则,求平面上两点间的距离公式吗 提示:设复数z1,z2分别对应复平面内的两个点A(a,b),B(c,d) (a,b,c,d∈R), 则z1=a+bi,z2=c+di,由于z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i, 因此|z1-z2|=,根据复数的几何意义可知=-(O为原点),即|BA|=|AB|=. 在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则: (1)四边形OACB为平行四边形. (2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形. (3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形. (4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. (5)+=2(+). 探究点一　复数的加法与减法 [例1] 计算下列各式. (1)(-i)+(-+i)+1; (2)(--)-(-)+i; (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i). 解:(1)原式=(-)+(-+)i+1=1-i. (2)原式=(-+)+(--+1)i=+i. (3)原式=(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i=-11i. (1)类比实数运算,若有括号,先计算括号内的;若没有括号,可从左到右依次进行. (2)算式中出现字母,首先要确定其是不是实数,再确定复数的实部和虚部,最后把实部、虚部分别相加. [针对训练] (1)已知a,b∈R,(a+3i)+(-1+bi)=0,则(　　) A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 (2)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b等于(　　) A.-7 B.7 C.-1 D.1 解析:(1)由(a+3i)+(-1+bi)=(a-1)+(3+b)i=0,得解得故选A. (2)因为z1+z2=a-4+(3+b)i为实数,所以3+b=0,即b=-3, 又z1-z2=a+4+(3-b)i为纯虚数,所以即a=-4且b≠3, 综上可知所以a+b=-7.故选A. 探究点二　复数加减法的几何意义 [例2] 复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 解:设复数z1,z2,z3在复平面内的对应点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),如图, 则=-,对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,=-, 对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i. 因为=,所以(x-1)+(y-2)i=1-3i, 所以解得 故点D对应的复数为2-i. [变式探究] 若本例题条件不变,利用复数的几何意义求正方形的边长及对角线的长. 解:由题意可知,正方形的边长为|AB|=||=|-|=|z2-z1|.因为z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i,所以|AB|==. 依题意,正方形的一条对角线为AC,结合=-,对应的复数为z3 ... ...