6.1.3 简单旋转体—球、圆柱、圆锥和圆台 学案 (原卷版+解析版)

1.3　简单旋转体———球、圆柱、圆锥和圆台 学习目标 1.了解球、圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.掌握与球、圆柱、圆锥、圆台有关的截面问题的计算,提升数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1　球 (1)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面.球面所围成的几何体称为球体,简称球.半圆的圆心称为球心(如图).连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径,连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径.球用表示它球心的字母来表示,如球O.球具有下面的性质:①球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径;②用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的半径. (2)一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.显然,球面是旋转面,球体是旋转体. [思考1] 球能否由圆面旋转而成 提示:能.圆面以直径所在的直线为旋转轴,旋转半周形成的旋转体即为球. [思考2] 球面与球体有区别吗 提示:有.球面是旋转面,球体是旋转体. 知识点2　圆柱、圆锥、圆台 (1)如图,以矩形的一边OO1、直角三角形的一条直角边SO、直角梯形垂直于底边的腰OO1所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别称为圆柱、圆锥、圆台.在旋转轴上的这条边的长度称为它们的高;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为它们的底面,不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为它们的侧面,无论转到什么位置,这条边都称为侧面的母线. (2)圆柱、圆锥、圆台用表示它的旋转轴的字母来表示,如圆柱O1O、圆锥SO、圆台O1O. [思考3] 可以通过对几何体切割、拼组、旋转、放缩等变换得到新的几何体,类比利用棱锥来定义棱台,如何定义圆台 提示:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得的截面与底面之间的部分称为圆台. [思考4] 试说明圆柱、圆锥、圆台三者之间的关系. 提示:圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示. 知识点3　关于旋转体的截面 (1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆. (2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形. 探究点一　球的有关计算 [例1] 如图所示,已知OA为球O的半径,M为线段OA上的点,且AM=2MO,过M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,B为圆M上一点,若圆M的面积为8π,则OA等于(　　) A.2 B.3 C.2 D.4 求解与球的截面有关的问题,常借助球的截面的性质. 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆,有以下性质: (1)若平面α过球心O,则截面圆是以O为圆心的球的大圆. (2)若平面α不过球心O,如图,设OO′⊥α,垂足为O′,记OO′=d,对于平面α与球面的任意一个公共点P,都满足OO′⊥O′P,则有O′P=,即此时截得的圆是以O′为圆心,以r=为半径的球O的小圆. [针对训练] (1) 一个球体被两个平行平面所截,夹在两平行平面间的部分叫作球台,两平行平面间的距离叫作球台的高.西晋越窑的某个卧足杯的外形可近似看作球台,其直观图如图所示,已知杯底的直径为 2 cm,杯口直径为4 cm,杯的深度为 cm,则该卧足杯侧面所在球面的半径为(　　) A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm (2)若球的半径为2,则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为(　　) A.4π B.π C.2π D.π 探究点二　圆柱、圆锥、圆台的结构特征 [例2] 下列命题正确的是　　　　　.(填序号) ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球; ④用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面. (1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成; ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋 ... ...