6.2 直观图 学案 (原卷版+解析版)

§2　直观图 学习目标 1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤,培养数学抽象的核心素养. 2.会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图,发展直观想象的核心素养. 3.掌握简单的几何体的直观图的还原与计算,提高逻辑推理与数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,且使 ∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段长度为原来的. (4)擦去辅助线x′轴和y′轴. [思考1] 相等的角在直观图中还相等吗 提示:不一定.例如正方形的直观图为平行四边形,邻角不相等. [思考2] 相等的线段的长度在直观图中相等吗 提示:不一定. 知识点2　空间几何体直观图的画法 (1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy;再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°. (2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°.x′O′y′所确定的平面表示水平平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段长度为原来的一半. (5)擦去辅助线,并将被遮线画成虚线. [思考3] 几何体的直观图图形唯一吗 提示:不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同. [思考4] 平面图形的直观图都是实线,空间几何体的直观图也都是实线吗 提示:不一定,空间几何体中,被遮挡的部分要画为虚线. (1)用斜二测画法画几何体的直观图时,要注意原图与直观图中的“三变、三不变”. “三变” “三不变” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图. 探究点一　 斜二测画法画平面图形的直观图 [例1] 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 解:(1)如图(a)所示,取AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系.如图(b),画对应的坐标系x′O′y′,使 ∠x′O′y′=45°. (2)如图(b),以O′为中点在x′轴上取 A′B′=AB,在y轴上取 O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD. (3)如图(c),连接B′C′,D′A′,擦去辅助线,所得的四边形A′B′C′D′ 就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. (1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图的顶点,确定顶点的位置,可借助平面直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键,常利用图形的对称性,并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上. (2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段. [针对训练] 画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图. 解:(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图(a)(b)所示. (2)在x′轴上截取O′B′=OB,在y′轴上截取O′D′=OD,过点D′作x′轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC.连接 B′C′,如图(b). (3)擦去辅助线,所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图,如图(c). 探究点二　空间图形的直观图 [例2] 有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为3 cm,画出这个正六棱锥的直观图. 解:(1)先画出边长为3 c ... ...