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课件网) 第六章 平面向量及其应用 6.4.3.1 余弦定理 新课引入 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系. 例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边角定量关系. 对于一般的三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定三角形全等的方法. 这些方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就唯一确定. 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量的方法研究这个问题. 新课引入 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么呢？ 问题引入 新知探究 在中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示？ 探究 A B C 因为涉及的是三角形的两边长和他们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究. 如图，设，，，那么 我们研究的目标是用，和表示，联想到数量积的性质，可以考虑用向量（即）与其自身作数量积运算. 所以得： 新知探究 A B C 所以 同理可得： 新知探究 A B C 从这里得推导过程，你能感受到向量运算得力量了吗？ 新知探究 余弦定理 于是，我们得到了三角形中边角关系得一个重要定理： 三角形中任何一边得平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积两倍. 即 新知探究 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. 如何记忆余弦定理呢？ 余弦定理中边的可轮换性 余弦定理中边，，的轮换方式如图所示： 按上述方式进行轮换，并注意到夹角，就可以从余弦定理的一个式子得到其余两个式子. 正因为余弦定理中的边具有可轮换的特点，所以余弦定理可以用概括的文字语言统一叙述. 新知探究 现在，你能解决本节课开始时的问题了吗？ 新知探究 在中，由余弦定理： 所以. 新知探究 你能用其他方法证明余弦定理吗？ ①坐标法证明余弦定理 如图，以的顶点为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设，，的长分别为，，，则点的坐标为， 并且不论是锐角、钝角还是直角，由三角函数的定义知， 点的坐标始终为. A B C (O) x y 新知探究 由两点间的距离公式，得， 即， 所以. 同理，若以顶点为原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，或若以顶点为原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，不难得到 A B C (O) x y 新知探究 ②几何法证明余弦定理 如图，当三角形是锐角三角形时，过点作，垂足为，则 因为，，，， 所以. 当三角形是钝角三角形和直角三角形时同理. A B C D 新知探究 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形 的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？ 思考 如果中有一个角是直角，例如，，这时. 由余弦定理得，这就是勾股定理. 由此可见， 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 新知探究 余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系. 应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？ 思考 由余弦定理，可以得到如下推论： 余弦定理及其推论把“”和“”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 新知探究 解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 典型例题 归纳小结 本节课到此结束！ 谢谢大家！ ... ...
