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课件网) 6.3.1平面向量基本定理 高中数学 人教A版 必修第二册 第六章 单元框架 向量共线定理: 向量b与非零向量a 共线,则有且只有一个实数 使得： b= a b a 复习回顾 二维平面 该如何表示？ 用一个向量可以吗？ 一维直线 问题1：平面上也有无数个向量，我们该如何表示呢？用一个向量可以吗？ a 上升 由此可知，位于一条直线上的向量有无数个，这些都可以用某个非零向量a表示。 a 问题2：为什么要用有限个（两个）向量表示平面内任一向量？ A B C D E F 如图，已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2， = , E是BC中点，F是CD的中点， 求 的值. 提出问题 我们知道，物理中已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力. 问题3：由力的分解得到启发，能否通过作平行四边形，向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢 问题4：设 e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2 都不共线的向量. e1 e2 a 新知探究 O C A B M N 在平面内任取一点O，作 =e1, =e2, =a. 将a按 e1，e2的方向分解，你有什么发现？ e1 e2 e1 e2 + e1 e2 + a = 所以 e1 a e2 a=λ1e1+0e2 a=0e1+λ2e2 思考1：若向量a是与e1或e2共线的非零向量，向量a还能用 表示吗？ e2 e1 + e1 a e2 e2 e1 a 追问：当a是零向量时， a可以表示成 的形式吗？为什么？ e2 e1 + a=0e1+0e2 思考2:平面内,两个不共线的e1， e2 确定了，表示a的实数 对 ， 是否唯一？ e2 a e1 演示 由此可知实数对 存在且唯一. 假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0， 不妨假设λ1－μ1≠0，则 所以对于给定的向量 a, e1， e2 , 这样的 是唯一的. 思考3：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2， a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1与μ1，λ2与μ2有何关系？ 由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2， ∵e1与e2不共线， ∴λ1－μ1＝0，λ2－μ2＝0， ∴λ1＝μ1，λ2＝μ2． 由此可得e1与e2共线 这与e1与e2不共线矛盾 即(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0 如果 e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ， 一对实数 ，使 若e1 ，e2 不共线，我们把{e1 ，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底. e1 e2. + a = 问题5：基底有什么要求？同一平面内，基底唯一吗？ 有且只有 不共线 不唯一 平面向量基本定理 A B C D E F 如图，已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2， = ,E是BC中点，F是CD的中点,求 的值. 解决问题 A B C D E F 如图，已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2， = ,E是BC中点，F是CD的中点,求 的值. 解： 例1 如图， ， 不共线，且 ＝t （t∈R），用 、 表示 学以致用 例1 如图， ， 不共线，且 ＝t （t∈R），用 ， 表示 ． 解：因为 ， 所以 你有什么发现？ A，B，P三点共线 系数和等于1． 例2 如图，CD是△ABC的中线，且CD＝ AB，用向量方法证明△ABC 是直角三角形． C A D B 1.我们是如何探究得到结论：用平面内两个不共线的向量表示该平面内任意向量？ 2.本节课我们学习了什么内容？ 3.本节课的学习探究过程你有什么收获？ 平移三个向量至同起点 作平行四边形 将向量按加法法则进行分解 得到表示 用反证法证明了唯一性 数学思想 数形结合 反证法 转化思想 核心素养 数学抽象 数学运算 逻辑推理 平面向量基本定理 课堂小结 单元框架 基础作业 提升作业 拓展思考 教科书练习 第1、2、3题. 教科书习题 第1、11题. 1.经过本节课的学习，我们从（一维）共线定理上升到（二维）平面向量基本定理，还能再上升到三维吗？ 2.这节课如何体现了化繁为简，化无限为有限的转化思想？用 ... ...
