高中数学 必修 2 第六章平面向量 设 为 ABC所在平面上一点，角 A,B,C所对边长分别为 a,b,c，则 （1）O为 的外心 2 2 2 ABC OA OB OC . 2 （ ）O为 ABC的重心 OA OB OC 0 . 3 （ ）O为 ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA . 4 （ ）O为 ABC的内心 aOA bOB cOC 0 . 【6.1】平面向量的概念 1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移） （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示： 2、向量的有关 概念：相等向量是平行 （共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 零向量 长度为 0的向量，记作 0 单位向量 长度等于 1个单位长度的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量，向量 a，b 平行，记作 a∥b， （ 共 线 向 规定：零向量与任一向量平行 量） 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量 a，b 相等，记作 a＝b 1 【6.2】平面向量的运算 1、向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一 使用三角形法则时要注意 点 A，作 ＝a， ＝b，则向量 “首尾相接”的条件，而向量 叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 a＋b 加法的平行四边法则应用的 ＝ ＋ ＝ 前提是共起点 平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b，以 OA，OB为邻边作 OACB， 则以 O 为起点的向量 （OC 是 OACB的对角线）就是向量 a 与 b 的和 （3）规定：对于零向量与任意向量 a，规定 a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加 法平行四边形法则的物理模型. （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 a，b 方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 2、向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－ ＝ 就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若 a，b 互为相反向量，则 a＝－b，a ＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b 表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算） （1）定义：规定实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与 a 的方 向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. 2 （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa； ③λ（a＋b）＝λa＋λb； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量 a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b. （4）共线向量定理：向量 a（a≠0）与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 4、向量的数量积 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]， 而两直线夹角的范围为 0， 2 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量 a， ... ...
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