［学习目标］ 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩充到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 一、复数的有关概念及代数表示 问题1 我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 知识梳理 1.虚数单位i 引入一个新数i，叫作 ，并规定： (1)i2= . (2) 可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 2.复数的概念 形如a+bi(a，b∈R)的数叫作复数. 所组成的集合叫作复数集，记作 . 3.复数的代数形式 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的 与 . 例1 以3i-i的实部为虚部的复数是( ) A.3-3i B.3+i C.- D.i 跟踪训练1 (1+)i的实部与虚部分别是( ) A.1， B.，0 C.0，1+ D.)i 二、复数的分类 问题2 实数分为有理数和无理数两类，那么对于复数z是否也可以进行类似分类，依据是什么？ 知识梳理 1.复数z=a+bi(a，b∈R) 2.集合表示： 例2 当m为何实数时，复数z=+(m2-2m-15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数. 延伸探究 本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 反思感悟 复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z=a+bi(a，b∈R)， ①z为实数 b=0； ②z为虚数 b≠0； ③z为纯虚数 a=0且b≠0. 跟踪训练2 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.-1 三、复数相等 问题3 复数z由哪些因素确定？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 知识梳理 两个复数相等的充要条件 如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即a+bi=c+di 这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等. 例3 (1)若(x+y)+yi=(x+1)i，求实数x，y的值. (2)若关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根，求实数a的值. 跟踪训练3 复数z1=(2m+7)+(m2-2)i，z2=(m2-8)+(4m+3)i，m∈R，若z1=z2，则m= . 1.知识清单： (1)数集的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成z=a+bi(a，b∈R)的形式. 1.在2+)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(多选)下列说法中正确的为( ) A.两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等 B.1-ai(a∈R)是一个复数 C.i2的虚部为1 D.-1的平方根只有一个，即为-i 3.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是 . 4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0)，x，y∈R，则x= ，y= . 答案精析 问题1 为了解决x2+1=0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使i2=-1. 知识梳理 1.虚数单位 (1)-1 (2)实数 2.全体复数 C 3.实部 虚部 例1 A 跟踪训练1 C 问题2 可以依据实部和虚部来分类，如当虚部b=0时，z为实数. 例2 解 (1)当 即m≠5且m≠-3时，z是虚数. (2)当 即m=3或m=-2时，z是纯虚数. (3)当 即m=5时，z是实数. 延伸探究 解 因为z>0，所以z为实数，需满足 解得m=5. 跟踪训练2 B 问题3 复数z由它的实部和虚部两个因素确定，故不能比较大小. 例3 (1)解 由复数相等的充要条件，得 (2)解 设方程的实根为x=m， 则原方程 ... ...
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