1.4.1 直线的方向向量与平面的法向量--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一课时作业（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 4.1 直线的方向向量与平面的法向量--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一课时作业 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．若过两点的直线的倾斜角为，则y=( ) A. B. C.-1 D.1 2．在平行六面体中，向量，，一定是( ) A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( ) A. B. C. D. 4．已知向量,,则平面的一个法向量( ) A. B. C. D. 5．直线的一个方向向量是( ) A. B. C. D. 6．直线的一个方向向量是( ) A. B. C. D. 7．已知直线l的一个方向向量，且直线l过和两点，则( ) A.0 B.1 C. D.3 8．已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是( ) A.平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D.如果向量a，b与平面共面，且向量n满足，，那么n就是平面的一个法向量 10．给定下列命题，其中不正确的有( ) A.若a是平面的斜线，直线b垂直于a在内的射影，则 B.若a是平面的斜线，平面内的一条直线b垂直于a在内的射影，则 C.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则 D.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在内的射影，则 11．如图，在空间直角坐标系中，为单位正方体，下列结论中正确的有( ) A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为 C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知直线l过点，，且是直线l的一个方向向量，则_____. 13．在空间直角坐标系中，已知三点，，，若向量n与平面ABC垂直，且，则向量n为_____. 14．直线的方向向量坐标可以是_____.（只需写出一个满足条件的一个向量） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．计算: （1）已知直线l的倾斜角为,求l的方向向量和法向量; （2）已知直线l经过点和,求直线l的方向向量和法向量. 16．如图，在正四棱柱中，，E，F分别为棱，的中点，G为棱上的动点. （1）求证：B，E，，F四点共面. （2）是否存在点G，使得平面平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，请说明理由. 17．如图，在棱长为3的正方体中，点M在棱上，且.以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量. 18．已知，. (1)平面ABC的法向量共有多少个 (2)求平面ABC的单位法向量. 19．设a，b分别是直线和的方向向量，根据下列条件判断和的位置关系. (1)，； (2)，； (3)，. 参考答案 1．答案：C 解析： 故选：C 2．答案：C 解析：如图所示，连接AC，因为，而， 所以，即，所以，，三向量共面.故选C. 3．答案：B 解析：根据题意进行类比，在空间任取一点， 则， 平面的法向量为， ， 所以该平面的方程为. 故选：B 4．答案：A 解析：设平面的一个法向量为, 则,即,即, 所以满足上述条件的只有A符合. 故选:A. 5．答案：A 解析：直线的斜率为, 所以,该直线的方向向量为, 故该直线的一个方向是. 故选：A. 6．答案：B 解析：直线的 ... ...