1.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一课时作业（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一课时作业 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知平面的法向量，且点，，则点P到平面的距离为( ) A. B. C.2 D.4 2．在直三棱柱中，若，，则与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 3．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 4．如图，正方体中，，，当直线与平面所成的角最大时，( ) A. B. C. D. 5．如图,在平行六面体中,,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 6．在长方体中,,,,点E为的中点,则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7．在棱长为1的正方体中，F为线段的中点，则点F到平面的距离为( ) A. B. C. D.1 8．已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．在棱长为1的正方体中,下列结论正确的是( ) A.点到的距离为 B.面与面的距离为 C.直线与平面所成的角为D.点到平面的距离为 10．在长方体中,,,则异面直线与所成角的大小可能为( ) A. B. C. D. 11．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，的甲点，则下列结论正确的是( ) A.点F到点E的距离为 B.点F到直线的距离为 C.点F到平面的距离为 D.平面到平面的距离为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．在长方体中，，，点F为长方体的底面的中心，点E为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为_____. 13．如图，正三角形与正三角形所在的平面互相垂直，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 14．如图，在三棱柱.中，所有棱长均为1，且底面ABC，则点到平面的距离为_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M、N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. (1)证明：平面； (2)当a为何值时，的长最小并求出最小值； (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 16．如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点.求异面直线AN，CM所成角的余弦值. 17．（例题）如图，在直三棱柱中，，，，P为BC的中点，点Q，R分别在棱，上，，.求平面PQR与平面夹角的余弦值. 18．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值. 19．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若，，，，求平面与平面的夹角. 参考答案 1．答案：B 解析：因为平面的法向量，且点，， 所以点P到平面的距离为. 故选：B. 2．答案：C 解析：如图，建立空间直角坐标系，设， 则，，， 所以， 则， 故与所成角的余弦值为. 故选：C 3．答案：D 解析：以D为原点，分别以，， 所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示则，，， ，， 设， 则，， 设平面的法向量为 则， 令，得 所以， 由于，， ， ， ，， 由于， 所以 故选：D 4．答案：C 解析：如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1. 则，，， ，，. 所以，， ，. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 又，设直线与平面所成的角为， 则， 从而当时，取到最大值， 又，故时直线与平面所成的角最大. 故选：C 5．答案：D 解析：设,,,,, , . ,. , 异面直线与 ... ...