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课件网) 第2课时 垂径定理 27.1.2 圆的对称性 第二十七章 圆 知识回顾： 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 如果弦相等 那么 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 学习目标 1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. 用折叠的方法 ●O 说一说 知识精讲： 结论 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴. 易错警示： (1)圆的对称轴有无数条. (2)“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”. · O A B D P C 问题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 P. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么 线段：AP = BP 弧： 理由如下： 把圆沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP 与BP 重合， 和 ， 与 重合． 垂径定理及其推论： 垂径定理: · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 结论 判断：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 CD 没有过圆心 A B O E A B D C O E A B O C D E O A B C 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 结论 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 想一想 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知:_____; 求证:_____. ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ① ③ ② ④ ⑤ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） · O A B C D E （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. ⌒ AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 1. 如图27.1-12，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为( ) 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 经典例题 2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 . 5cm 3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm, EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 . 14cm或2cm 5. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm. · O A B E 解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 ∴ cm. 解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 归纳总结 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. C D C B O ... ...
