1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 空间向量的坐标与运算 [学习目标] 1.了解空间中向量的坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角． 一、空间中向量的坐标 问题1 平面中{e1，e2}是向量p的单位正交基底，你能用{e1，e2}表示向量p吗？ 知识梳理 空间中向量的坐标 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是_____，而且这三个向量_____，就称这组基底为单位正交基底． (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的_____． (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝_____，其中x，y，z都称为p的_____． 例1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标． 跟踪训练1 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是( ) A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2,1,3) B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1,2) C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1,3，－1) D．若s＝－3e2，则s＝(0,0，－3) 二、空间向量的运算与坐标的关系 问题2 在平面中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系列的运算吗？ 知识梳理 空间向量的坐标运算 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b 加法 a＋b 线性运算 μa＋vb 数量积 a·b 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ 例2 (1)向量a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，则a＋6b－8c＝_____. (2)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b·(a＋b)等于( ) A．36 B．26 C．46 D．30 反思感悟 空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标． 跟踪训练2 已知a＋b＝(－2,5,4)，a－b＝(4，－1，2)，则a＝_____，b＝_____. 三、空间向量坐标运算的综合应用 例3 已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)． 求：(1)|a＋b－2c|； (2)cos〈a－b，b－c〉． 反思感悟 空间向量的数量积、模、夹角公式的坐标表示a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． (1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (2)|a|＝＝. (3)cos〈a，b〉＝＝. 跟踪训练3 (1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝_____. (2)已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝_____. 1.知识清单： (1)空间中向量的坐标． (2)空间向量的坐标运算． 2．方法归纳：公式法． 3．常见误区： (1)正确运用坐标表示空间的向量以及向量的运算． (2)向量坐标与点的坐标书写时的规范性． 1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( ) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) 2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( ) A．0 B. C. D．π 3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于( ) A．5 B．4 C．3 D．2 4．设＝(cos α＋sin α，0，－sin α)，＝(0，cos α，0)，则||的最大值为_____． 第1课时 空间向量的坐标与运算 问题1 p＝xe1＋ye2；其中有序数组(x，y)是向量p的坐标．实际上，对于平面中任意不共线的向量{a，b}，若p＝xa＋yb，则有序数组(x，y)是基底{a，b}下的坐标． 知识梳理 (1)单位向量 两两垂直 (2)单位正交分解 (3)(x，y，z) 坐标分量 例1 解 a＝(3,2，－1)； b＝(－1,0,3)． 跟踪训练1 C 问题2 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|＝等． 知识梳理 x1＝x ... ...
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