2.2.3 两条直线的位置关系 [学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行、重合、垂直求参数或直线方程． 一、两条直线位置关系的判断 问题1 如何判断两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)的位置关系？ 知识梳理 1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，则l1与l2的位置关系和方程组的解的情况有下列关系： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点的个数 直线l1和l2的位置关系 2.利用直线的斜截式方程判断两直线相交、平行与重合 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. ①l1与l2相交 _____； ②l1与l2平行 k1＝k2且b1≠b2； ③l1与l2重合 k1＝k2且b1＝b2. 3．利用直线的一般式方程判断两直线相交、平行与重合 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1，l2相交 _____， l1∥l2 _____且A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)， l1与l2重合 _____且A1C2＝A2C1(或B1C2＝B2C1)． 4．l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0， l1∥l2 _____， l1与l2重合 _____. 例1 已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？ 反思感悟 两条直线位置关系的两种判定方法 (1)斜率法：若两直线斜率不相等，则两直线相交；若两直线斜率相等，截距不相等，则两直线平行；若两直线斜率相等，截距也相等，则两直线重合．特别地，要考虑斜率不存在的情况． (2)方向向量法：若两直线的方向向量不共线，则两直线相交；若两直线的方向向量共线，则两直线平行或重合． 跟踪训练1 判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋； (3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2； (4)l1：x＝5，l2：x＝6. 二、两条直线的平行 知识梳理 1．利用直线的斜截式判断两直线平行：l1∥l2 _____且_____． 2．利用直线的一般式判断两直线平行：l1∥l2 _____且A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)． 例2 (1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程； (2)已知A(－2，m)，B(m,4)，直线AB与直线l：y＝－2x＋1平行，求m的值． 反思感悟 (1)求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可． (3)对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论． 跟踪训练2 若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程． 三、两条直线的垂直 问题2 两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的条件是什么？ 知识梳理 1．利用直线的斜截式方程判断两条直线的垂直 在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 _____. 2．利用直线的一般式方程判断两条直线的垂直 (1)在平面直角坐标系中，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1⊥l2 _____. (2)若直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Bx－Ay＋C2＝0，则直线l1与l2相互_____． 例3 判断下列各题中l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)． 反思感悟 (1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0判断． (2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2 k1·k2＝－1判断． (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程 ... ...
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