2.2.4 点到直线的距离 [学习目标] 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.3.理解两条平行直线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离． 一、点到直线的距离 问题1 如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 问题2 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 知识梳理 定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度，距离公式d＝_____. 例1 求点P(2，－3)到下列直线的距离． (1)y＝x＋；(2)3y＝4；(3)x＝3. 反思感悟 应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)当点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 跟踪训练1 (1)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为( ) A. B．－ C.或－ D.或－ (2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为_____． 二、两条平行直线之间的距离 问题3 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 问题4 怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 知识梳理 1．定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上_____到另一条直线的距离． 2．求法：转化为点到直线的距离． 3．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝_____.(A，B不全为0，C1≠C2) 例2 (1)已知两条直线l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0.求l1，l2间的距离． (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为( ) A．1 B. C. D．2 反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 跟踪训练2 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是( ) A．1 B．2 C. D．4 三、距离公式的综合应用 例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 反思感悟 应用数形结合思想求最值 (1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 跟踪训练3 (1)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_____． (2)求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 1．知识清单： (1)点到直线的距离． (2)两条平行直线之间的距离． 2．方法归纳：公式法、数形结合法、解方程(组)法． 3．常见误区：运用两平行直线之间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( ) A．1 B. C．2 D. 2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于( ) A．0 B. C．3 D．2 3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A．4 B. C. D. 4．已 ... ...
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