2.5.1 椭圆的标准方程 第1课时 椭圆的标准方程 [学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 一、椭圆的定义 问题1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 知识梳理 如果F1，F2是平面内的两个_____，a是一个常数，且2a_____|F1F2|，则平面内满足_____的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的_____，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的_____． 例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过点P，判断圆心M的轨迹． 反思感悟 定义中到两定点的距离之和是常数(不含变量)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件． 跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是_____．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． (2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 二、椭圆的标准方程的推导 问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使所得的椭圆方程形式简单？请建系并求方程． 问题3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 知识梳理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 a，b，c的关系 a>b>0，a>c>0，a2＝_____ 三、求简单的椭圆的标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 反思感悟 (1)求椭圆的标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解． (2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为_____． 1.知识清单： (1)椭圆的定义． (2)椭圆的标准方程． (3)椭圆定义及标准方程的应用． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区： (1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视． (2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况． (3)易忽视条件中椭圆定义的使用． 1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 2．若椭圆的焦点在x轴上且其图象经过点(－4,0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( ) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 4．动点P(x，y)的坐标满足＋＝8，则点P的轨迹为_____． 第1课时 椭圆的标准方程 问题1 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 知识梳理 定点 > |PF1|＋|PF2|＝2a 焦点 焦距 例1 解 方程x2＋y2－6x－55＝0 ... ...
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