2.7.1 抛物线的标准方程 [学习目标] 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题． 一、抛物线的定义 问题1 同学们对抛物线有了哪些认识？ 问题2 你能用画板、直尺、绳子画出抛物线吗？ 知识梳理 一般地，设F是平面内的一个定点，l是_____的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离_____的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的_____，定直线l称为抛物线的_____． 例1 在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( ) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 反思感悟 理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上． 跟踪训练1 在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、求抛物线的标准方程 问题3 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 跟踪训练2 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝_____，准线方程为_____． (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_____． 三、抛物线定义的应用 例3 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( ) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 延伸探究 1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值． 2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 反思感悟 抛物线定义的应用 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． 跟踪训练3 (1)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为_____． 1.知识清单： (1)抛物线的定义． (2)抛物线的标准方程及图形． (3)抛物线定义的应用． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区： (1)解题时首先把方程化为标准形式． (2)抛物线的标准方程有四种情况，解题要分清焦点位置，必要时要讨论焦点的位置． 1．抛物线y＝－x2的准线方程是( ) A．x＝ B．x＝ C．y＝2 D．y＝4 2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A．(1,0) B. C. D．(0,1) 3．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( ) A．5 B. C.－1 D.＋1 4．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为_____． 2.7.1 抛物线的标准方程 问题1 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象． 问题2 如图所示，在画板上画一条直线l，使l与画板 ... ...
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