2.7.2 抛物线的几何性质（课件+学案+练习，共3份）人教B版（2019） 选择性必修 第一册

2.7.2　抛物线的几何性质 [学习目标]　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题． 一、抛物线的简单几何性质 问题　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 知识梳理 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝____ 例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 反思感悟　确定抛物线的简单几何性质的三个要点 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 跟踪训练1　边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 二、抛物线中的最值问题 例2　已知抛物线C：y＝a2x2的焦点为(0,2)，点P是抛物线C上任意一点，则点P到点A(0,5)距离的最小值为(　　) A．2 B．5 C．2 D．6 反思感悟　求两点之间的距离最大或最小值的问题，转化为两点之间的距离，消元后根据二次函数求最值，但要注意自变量的取值范围． 跟踪训练2　已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆(x－6)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为(　　) A.－1 B．2－ C．2－1 D．21－4 三、与抛物线有关的轨迹方程的求法 例3　已知点A(1,0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足·＝0.若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是_____． 反思感悟　根据题意设出动点的坐标，即“求谁设谁”，建立等式即可． 跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|·|＝||，则动点P的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝－4x D．x2＝－4y 1.知识清单： (1)抛物线的简单几何性质． (2)抛物线中的最值问题． (3)与抛物线有关的轨迹方程的求法． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：在求抛物线的焦点或准线方程时，易忽略把抛物线转化为标准形式． 1．抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为(　　) A．4 B．2 C．1 D. 2．已知点A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是(　　) A．x2＝－y B．x2＝y C．x2＝4y D．x2＝－4y 3．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 2.7.2　抛物线的几何性质 问题　1.范围 当x>0时，抛物线y2 ＝2px(p＞0) 在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 2．对称性 观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px (p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴. 3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0)． 4．离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率．用e表示，e＝1. 知识梳理 1 例1　解　椭圆的方程可化为＋＝1， 其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2 ... ...