[学习目标] 1.理解导函数的定义.2.掌握常见的函数的导数公式.3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数. 一、定义法求函数的导数 问题1 如何利用导数的定义求函数f(x)=+x在x=x0处的导数？ 问题2 当x0在定义域内任意取值时，问题1中的f'(x0)的值如何？ 知识梳理 一般地，如果一个函数y=f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f'(x)=，那么f'(x)是关于x的函数，称f'(x)为y=f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y'. 例1 利用导函数的定义求函数f(x)=6x2+x-1的导数，并求x=0和x=2处的导数值. 反思感悟 利用定义求函数y=f(x)的导函数的一般步骤 (1)确定函数y=f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； (2)计算Δy=f(x+Δx)-f(x)； (3)当Δx趋于0时，得到导函数f'(x)=. 跟踪训练1 求函数f(x)=x2-3x的导数f'(x)，并求f'(3). 二、利用导数公式求函数的导数 问题3 下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数： f(x)=x f'(x)=1=1×x1-1； f(x)=x2 f'(x)=2x=2x2-1； f(x)=x3 f'(x)=3x2=3x3-1； f(x)==x-1 f'(x)=-x-2=-x-1-1； f(x)== f'(x)==. 你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？ 知识梳理 函数的导数公式 函数 导数 y=c(c是常数) y'= y=xα(α是实数) y'=α y=ax(a>0，a≠1) y'= 特别地(ex)'= y=logax(a>0，a≠1) y'= 特别地(ln x)'= y=sin x y'= y=cos x y'= y=tan x y'= 例2 求下列函数的导数： (1)y=2 025；(2)y=； (3)y=lg x；(4)y=； (5)y=2cos2-1. 反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. 跟踪训练2 求下列函数的导数. (1)y=sin ；(2)y=； (3)y=4x；(4)y=log3x. 三、导数公式的应用 例3 已知曲线y=ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 延伸探究 1.已知y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线，则k= . 2.求曲线y=ln x过点O(0，0)的切线方程. 反思感悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. (2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 跟踪训练3 求过曲线y=cos x上的一点P且与过这点的切线垂直的直线方程. 1.知识清单： (1)导函数的概念. (2)函数的导数公式及其应用. 2.方法归纳：公式法、待定系数法. 3.常见误区：公式记混用错；不化简成基本初等函数. 1.若y=ln 2，则y'等于 ( ) A. B. C.0 D. 2.已知f(x)=，则f'(8)等于( ) A.0 B.2 C. D.-1 3.一质点的运动方程为s=cos t，则t=1时质点的瞬时速度为( ) A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.2sin 1 4.曲线y=ln x与x轴交点处的切线方程是 . 答案精析 问题1 Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =+(x0+Δx)- =-+Δx. =-+1. 当Δx趋于0时，得到导数 f'(x0)== =-+1. 问题2 对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f'(x0)=-+1与之对应，所以f'(x)=-+1是x的函数. 例1 解 ∵f(x)=6x2+x-1， ∴f'(x)= = =(12x+6Δx+1)=12x+1， ∴f'(0)=1，f'(2)=12×2+1=25. 跟踪训练1 解 f'(x)= = =(2x+Δx-3)=2x-3. ∴f'(3)=2×3-3=3. 问题3 通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)'=αxα-1. 知识梳理 0 axln a ex cos x -sin x 例2 解 (1)y'=0. (2)y'=ln=-ln 3. (3)y'=. (4)∵y==， ∴y'='==. (5)∵y=2cos2-1=cos x， ∴y'=(cos x)'=-sin x. 跟踪训练2 解 (1)y'=0. (2)因为y==， 所以y'=-=-. (3)因为y=4x，所以y'=4xln 4. (4)因为y=log3x， 所以y'=. 例3 解 ∵y'=， ∴k=， ∴切线方程为y-1=(x-e)，即x-ey=0. ... ...
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